Страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.4. На рисунке 33.11 изображён график функции $y = f(x)$.

1) Чему равно значение функции $f$ в точке $x_0 = 1$?

2) Существует ли предел функции $f$ в точке $x_0 = 1$? В случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен.

3) Существует ли предел функции $f$ в точке $x_0 = 2$? В случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен.

Рис. 33.11

а

б

Для графика а

1) Чтобы найти значение функции $f(x)$ в точке $x_0 = 1$, необходимо найти на графике точку с абсциссой $x=1$. На графике для этого значения $x$ есть закрашенная точка с координатами $(1, 2)$. Это означает, что значение функции в этой точке равно ординате этой точки.

Ответ: $f(1) = 2$.

2) Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны друг другу её односторонние пределы (слева и справа) в этой точке.

• Левосторонний предел: когда $x$ приближается к 1 слева ($x \to 1^-$), значения функции $f(x)$ приближаются к 2. Таким образом, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$.
• Правосторонний предел: когда $x$ приближается к 1 справа ($x \to 1^+$), значения функции $f(x)$ приближаются к ординате выколотой точки, то есть к 1,5. Таким образом, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1.5$.

Поскольку левосторонний и правосторонний пределы не равны ($2 \neq 1.5$), предел функции в точке $x_0 = 1$ не существует. Это точка разрыва первого рода.

Ответ: предел не существует.

3) Чтобы определить, существует ли предел функции в точке $x_0 = 2$, снова рассмотрим односторонние пределы.

• Левосторонний предел: когда $x$ приближается к 2 слева ($x \to 2^-$), значения функции $f(x)$ приближаются к 1.
• Правосторонний предел: когда $x$ приближается к 2 справа ($x \to 2^+$), значения функции $f(x)$ также приближаются к 1.

Так как односторонние пределы существуют и равны друг другу, предел функции в точке $x_0 = 2$ существует и равен их общему значению. Функция в этой точке непрерывна, так как значение функции в точке совпадает с её пределом: $f(2) = 1$.

Ответ: да, существует, $\lim_{x \to 2} f(x) = 1$.

Для графика б

1) Найдём значение функции $f(x)$ в точке $x_0 = 1$. На графике в этой точке находится "пик" (точка излома), но она не выколота. Координаты этой точки $(1, 2)$. Следовательно, значение функции в этой точке равно её ординате.

Ответ: $f(1) = 2$.

2) Рассмотрим односторонние пределы в точке $x_0 = 1$.

• Левосторонний предел: когда $x$ приближается к 1 слева ($x \to 1^-$), значения $f(x)$ приближаются к 2.
• Правосторонний предел: когда $x$ приближается к 1 справа ($x \to 1^+$), значения $f(x)$ также приближаются к 2.

Поскольку односторонние пределы равны, предел в точке $x_0 = 1$ существует. Функция в этой точке непрерывна, хотя и недифференцируема.

Ответ: да, существует, $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$.

3) Рассмотрим односторонние пределы в точке $x_0 = 2$. На графике в точке с абсциссой $x=2$ находится выколотая точка. Это означает, что функция в этой точке не определена.

• Левосторонний предел: когда $x$ приближается к 2 слева ($x \to 2^-$), значения $f(x)$ приближаются к ординате выколотой точки, то есть к 1.
• Правосторонний предел: когда $x$ приближается к 2 справа ($x \to 2^+$), значения $f(x)$ также приближаются к 1.

Так как односторонние пределы равны, предел функции в точке $x_0 = 2$ существует. Это точка устранимого разрыва.

Ответ: да, существует, $\lim_{x \to 2} f(x) = 1$.

33.5. Значения аргумента функции $f$ стремятся к числу $x_0$. Выясните, к какому числу стремятся соответствующие значения функции $f$:

1) $f(x) = x^2, x_0 = 1;$

2) $f(x) = x+1, x_0 = -2;$

3) $f(x) = \frac{x}{x}, x_0 = 0;$

4) $f(x) = k, x_0 = a$, где $k$ и $a$ — некоторые числа.

1) Дана функция $f(x) = x^2$ и точка $x_0 = 1$.
Требуется найти, к какому числу стремятся значения функции $f(x)$, когда ее аргумент $x$ стремится к $x_0$. Это задача нахождения предела функции: $\lim_{x \to x_0} f(x)$.
В данном случае нам нужно найти $\lim_{x \to 1} x^2$.
Функция $f(x) = x^2$ является квадратичной и непрерывной на всей числовой оси. Для непрерывных функций предел в точке равен значению функции в этой точке. Следовательно, мы можем просто подставить значение $x_0 = 1$ в выражение для функции:
$\lim_{x \to 1} x^2 = 1^2 = 1$.
Таким образом, когда значения аргумента стремятся к 1, соответствующие значения функции стремятся к 1.
Ответ: 1.

2) Дана функция $f(x) = x + 1$ и точка $x_0 = -2$.
Мы ищем предел $\lim_{x \to -2} (x + 1)$.
Функция $f(x) = x + 1$ является линейной, а значит, непрерывной на всей числовой оси. Как и в предыдущем пункте, для нахождения предела достаточно подставить значение $x_0 = -2$ в функцию:
$\lim_{x \to -2} (x + 1) = (-2) + 1 = -1$.
Следовательно, когда значения аргумента стремятся к -2, значения функции стремятся к -1.
Ответ: -1.

3) Дана функция $f(x) = \frac{x}{x}$ и точка $x_0 = 0$.
Мы ищем предел $\lim_{x \to 0} \frac{x}{x}$.
Эта функция не определена в точке $x = 0$, так как подстановка этого значения приводит к неопределенности вида $\frac{0}{0}$. Однако, понятие предела относится к поведению функции вблизи точки, а не в самой точке. Для любого значения $x$, не равного нулю, мы можем упростить выражение:
$f(x) = \frac{x}{x} = 1$ при $x \neq 0$.
Таким образом, мы ищем предел функции, которая равна 1 во всех точках, кроме $x=0$. Предел постоянной функции равен самой этой постоянной:
$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0} 1 = 1$.
Это означает, что когда значения аргумента стремятся к 0 (не достигая его), значения функции постоянно равны 1 и, следовательно, стремятся к 1.
Ответ: 1.

4) Дана функция $f(x) = k$ и точка $x_0 = a$, где $k$ и $a$ — некоторые числа.
Мы ищем предел $\lim_{x \to a} k$.
Функция $f(x) = k$ является постоянной (константой). Это означает, что ее значение равно $k$ для любого значения аргумента $x$. Предел постоянной функции при $x$, стремящемся к любому числу $a$, равен значению этой постоянной.
$\lim_{x \to a} k = k$.
Таким образом, когда значения аргумента стремятся к любому числу $a$, значения функции всегда равны $k$ и, соответственно, стремятся к $k$.
Ответ: $k$.

33.6. Выясните, является ли непрерывной функция $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = x^2 - 1$, $x_0 = -1$;

2) $f(x) = \sqrt{x}$, $x_0 = 4$;

3) $f(x) = \frac{|x|}{x}$, $x_0 = 1$;

4) $f(x) = \sqrt{-x}$, $x_0 = -1$.

1) Для функции $f(x) = x^2 - 1$ в точке $x_0 = -1$.
Функция считается непрерывной в точке $x_0$, если она определена в этой точке и ее предел в этой точке равен ее значению, то есть $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:
$f(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.
2. Найдем предел функции в этой точке. Так как $f(x)$ — это многочлен, она является элементарной функцией, непрерывной на всей числовой оси. Поэтому предел можно найти прямой подстановкой:
$\lim_{x \to -1} (x^2 - 1) = (-1)^2 - 1 = 0$.
3. Сравниваем значение функции и ее предел в точке $x_0 = -1$:
$f(-1) = 0$ и $\lim_{x \to -1} f(x) = 0$.
Поскольку предел функции равен ее значению в точке $x_0 = -1$, функция является непрерывной в этой точке.
Ответ: да, является непрерывной.

2) Для функции $f(x) = \sqrt{x}$ в точке $x_0 = 4$.
Область определения функции $D(f): x \ge 0$, то есть $D(f) = [0; +\infty)$. Точка $x_0 = 4$ принадлежит области определения.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 4$:
$f(4) = \sqrt{4} = 2$.
2. Найдем предел функции в этой точке. Функция $f(x) = \sqrt{x}$ является элементарной и непрерывна во всех точках своей области определения.
$\lim_{x \to 4} \sqrt{x} = \sqrt{4} = 2$.
3. Сравниваем: $\lim_{x \to 4} f(x) = 2$ и $f(4) = 2$.
Поскольку предел функции равен ее значению в точке $x_0 = 4$, функция является непрерывной в этой точке.
Ответ: да, является непрерывной.

3) Для функции $f(x) = \frac{|x|}{x}$ в точке $x_0 = 1$.
Область определения функции $D(f): x \ne 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Точка $x_0 = 1$ принадлежит области определения.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = \frac{|1|}{1} = \frac{1}{1} = 1$.
2. Найдем предел функции в этой точке. В окрестности точки $x_0 = 1$ (например, при $x > 0$), имеем $|x| = x$. Таким образом, для всех $x > 0$ функция принимает вид $f(x) = \frac{x}{x} = 1$.
Следовательно, предел функции равен:
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} 1 = 1$.
3. Сравниваем: $\lim_{x \to 1} f(x) = 1$ и $f(1) = 1$.
Поскольку предел функции равен ее значению в точке $x_0 = 1$, функция является непрерывной в этой точке.
Ответ: да, является непрерывной.

4) Для функции $f(x) = \sqrt{-x}$ в точке $x_0 = -1$.
Область определения функции задается условием $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0]$. Точка $x_0 = -1$ принадлежит области определения.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:
$f(-1) = \sqrt{-(-1)} = \sqrt{1} = 1$.
2. Найдем предел функции в этой точке. Функция $f(x) = \sqrt{-x}$ является элементарной и непрерывна во всех точках своей области определения.
$\lim_{x \to -1} \sqrt{-x} = \sqrt{-(-1)} = \sqrt{1} = 1$.
3. Сравниваем: $\lim_{x \to -1} f(x) = 1$ и $f(-1) = 1$.
Поскольку предел функции равен ее значению в точке $x_0 = -1$, функция является непрерывной в этой точке.
Ответ: да, является непрерывной.

33.7. Выясните, является ли непрерывной функция $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 2, \\ x+2, & \text{если } x \ge 2, \end{cases}$ $x_0 = 2;

2) $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{x}, & \text{если } x \ne 0, \\ 1, & \text{если } x = 0, \end{cases}$ $x_0 = 0;

3) $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x > 1, \\ x-2, & \text{если } x \le 1, \end{cases}$ $x_0 = 1.

Для того чтобы выяснить, является ли функция $f(x)$ непрерывной в точке $x_0$, необходимо проверить выполнение трех условий непрерывности:

1. Функция $f(x)$ определена в точке $x_0$, то есть существует значение $f(x_0)$.
2. Существует предел функции в точке $x_0$, то есть левосторонний и правосторонний пределы равны: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$.
3. Предел функции в точке $x_0$ равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 2, \\ x+2, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$ в точке $x_0=2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=2$.
Поскольку $x_0=2$ удовлетворяет условию $x \ge 2$, используем вторую ветвь функции:
$f(2) = 2 + 2 = 4$.
Функция определена в точке $x_0=2$.

2. Найдем левосторонний и правосторонний пределы функции в точке $x_0=2$.
Левосторонний предел (при $x \to 2^-$, то есть $x < 2$):
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 = 2^2 = 4$.
Правосторонний предел (при $x \to 2^+$, то есть $x > 2$):
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x+2) = 2+2 = 4$.

3. Сравним пределы и значение функции.
Левосторонний и правосторонний пределы равны, значит, предел функции в точке $x_0=2$ существует: $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$.
Значение предела совпадает со значением функции в этой точке: $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 4$.
Все три условия непрерывности выполняются.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0=2$.

2) Дана функция $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{x}, & \text{если } x \ne 0, \\ 1, & \text{если } x = 0 \end{cases}$ в точке $x_0=0$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=0$.
По определению функции, при $x=0$ имеем:
$f(0) = 1$.
Функция определена в точке $x_0=0$.

2. Найдем предел функции в точке $x_0=0$.
При $x \to 0$, $x$ не равно нулю ($x \ne 0$), поэтому используем первую ветвь функции:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0} 1 = 1$.
Предел существует и равен 1.

3. Сравним предел и значение функции.
Значение предела совпадает со значением функции в этой точке: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 1$.
Все три условия непрерывности выполняются.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0=0$.

3) Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x > 1, \\ x-2, & \text{если } x \le 1 \end{cases}$ в точке $x_0=1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=1$.
Поскольку $x_0=1$ удовлетворяет условию $x \le 1$, используем вторую ветвь функции:
$f(1) = 1 - 2 = -1$.
Функция определена в точке $x_0=1$.

2. Найдем левосторонний и правосторонний пределы функции в точке $x_0=1$.
Левосторонний предел (при $x \to 1^-$, то есть $x < 1$):
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x-2) = 1-2 = -1$.
Правосторонний предел (при $x \to 1^+$, то есть $x > 1$):
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} x^2 = 1^2 = 1$.

3. Сравним пределы.
Левосторонний предел не равен правостороннему: $\lim_{x \to 1^-} f(x) \ne \lim_{x \to 1^+} f(x)$, так как $-1 \ne 1$.
Следовательно, предел функции в точке $x_0=1$ не существует. Второе условие непрерывности не выполняется, поэтому функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция не является непрерывной в точке $x_0=1$.