Номер 33.5, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.5. Значения аргумента функции $f$ стремятся к числу $x_0$. Выясните, к какому числу стремятся соответствующие значения функции $f$:

1) $f(x) = x^2, x_0 = 1;$

2) $f(x) = x+1, x_0 = -2;$

3) $f(x) = \frac{x}{x}, x_0 = 0;$

4) $f(x) = k, x_0 = a$, где $k$ и $a$ — некоторые числа.

1) Дана функция $f(x) = x^2$ и точка $x_0 = 1$.
Требуется найти, к какому числу стремятся значения функции $f(x)$, когда ее аргумент $x$ стремится к $x_0$. Это задача нахождения предела функции: $\lim_{x \to x_0} f(x)$.
В данном случае нам нужно найти $\lim_{x \to 1} x^2$.
Функция $f(x) = x^2$ является квадратичной и непрерывной на всей числовой оси. Для непрерывных функций предел в точке равен значению функции в этой точке. Следовательно, мы можем просто подставить значение $x_0 = 1$ в выражение для функции:
$\lim_{x \to 1} x^2 = 1^2 = 1$.
Таким образом, когда значения аргумента стремятся к 1, соответствующие значения функции стремятся к 1.
Ответ: 1.

2) Дана функция $f(x) = x + 1$ и точка $x_0 = -2$.
Мы ищем предел $\lim_{x \to -2} (x + 1)$.
Функция $f(x) = x + 1$ является линейной, а значит, непрерывной на всей числовой оси. Как и в предыдущем пункте, для нахождения предела достаточно подставить значение $x_0 = -2$ в функцию:
$\lim_{x \to -2} (x + 1) = (-2) + 1 = -1$.
Следовательно, когда значения аргумента стремятся к -2, значения функции стремятся к -1.
Ответ: -1.

3) Дана функция $f(x) = \frac{x}{x}$ и точка $x_0 = 0$.
Мы ищем предел $\lim_{x \to 0} \frac{x}{x}$.
Эта функция не определена в точке $x = 0$, так как подстановка этого значения приводит к неопределенности вида $\frac{0}{0}$. Однако, понятие предела относится к поведению функции вблизи точки, а не в самой точке. Для любого значения $x$, не равного нулю, мы можем упростить выражение:
$f(x) = \frac{x}{x} = 1$ при $x \neq 0$.
Таким образом, мы ищем предел функции, которая равна 1 во всех точках, кроме $x=0$. Предел постоянной функции равен самой этой постоянной:
$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0} 1 = 1$.
Это означает, что когда значения аргумента стремятся к 0 (не достигая его), значения функции постоянно равны 1 и, следовательно, стремятся к 1.
Ответ: 1.

4) Дана функция $f(x) = k$ и точка $x_0 = a$, где $k$ и $a$ — некоторые числа.
Мы ищем предел $\lim_{x \to a} k$.
Функция $f(x) = k$ является постоянной (константой). Это означает, что ее значение равно $k$ для любого значения аргумента $x$. Предел постоянной функции при $x$, стремящемся к любому числу $a$, равен значению этой постоянной.
$\lim_{x \to a} k = k$.
Таким образом, когда значения аргумента стремятся к любому числу $a$, значения функции всегда равны $k$ и, соответственно, стремятся к $k$.
Ответ: $k$.