Номер 33.8, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.8. Является ли непрерывной функция $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \begin{cases} \frac{6}{x}, & \text{если } x < -2, \\ x - 1, & \text{если } x \ge -2, \end{cases}$ $x_0 = -2;$

2) $f(x) = \begin{cases} 0,5x^2, & \text{если } x \le -1, \\ x + 3, & \text{если } x > -1, \end{cases}$ $x_0 = -1?$

1)

Функция является непрерывной в точке $x_0$, если ее предел в этой точке существует и равен значению функции в этой точке. Это означает, что левосторонний и правосторонний пределы должны существовать, быть равными друг другу и равняться значению функции в точке $x_0$: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$.

Проверим это условие для функции $f(x) = \begin{cases} \frac{6}{x}, & \text{если } x < -2 \\ x-1, & \text{если } x \ge -2 \end{cases}$ в точке $x_0 = -2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -2$.
Поскольку $-2 \ge -2$, используем второе выражение: $f(x) = x-1$.
$f(-2) = -2 - 1 = -3$.

2. Найдем левосторонний предел (при $x \to -2^-$, то есть $x < -2$).
Используем первое выражение: $f(x) = \frac{6}{x}$.
$\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^-} \frac{6}{x} = \frac{6}{-2} = -3$.

3. Найдем правосторонний предел (при $x \to -2^+$, то есть $x > -2$).
Используем второе выражение: $f(x) = x-1$.
$\lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} (x-1) = -2 - 1 = -3$.

Так как левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке равны между собой: $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) = f(-2) = -3$, то функция является непрерывной в точке $x_0 = -2$.

Ответ: да, функция непрерывна в точке $x_0 = -2$.

2)

Проверим непрерывность функции $f(x) = \begin{cases} 0,5x^2, & \text{если } x \le -1 \\ x+3, & \text{если } x > -1 \end{cases}$ в точке $x_0 = -1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$.
Поскольку $-1 \le -1$, используем первое выражение: $f(x) = 0,5x^2$.
$f(-1) = 0,5 \cdot (-1)^2 = 0,5 \cdot 1 = 0,5$.

2. Найдем левосторонний предел (при $x \to -1^-$, то есть $x < -1$).
Используем первое выражение: $f(x) = 0,5x^2$.
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} 0,5x^2 = 0,5 \cdot (-1)^2 = 0,5$.

3. Найдем правосторонний предел (при $x \to -1^+$, то есть $x > -1$).
Используем второе выражение: $f(x) = x+3$.
$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (x+3) = -1 + 3 = 2$.

Так как левосторонний предел не равен правостороннему пределу ($\lim_{x \to -1^-} f(x) = 0,5$, а $\lim_{x \to -1^+} f(x) = 2$), то предел функции в точке $x_0 = -1$ не существует. Следовательно, функция не является непрерывной в этой точке (имеет разрыв первого рода).

Ответ: нет, функция не является непрерывной в точке $x_0 = -1$.