Номер 33.1, страница 242 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.1. Построив график функции $f$, выясните, имеет ли функция $f$ предел в точке $x_0$:

1) $f(x) = 2x - 1, x_0 = -1;$

2) $f(x) = 2x - 1, x_0 = 0;$

3) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}, x_0 = 1;$

4) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}, x_0 = 2;$

5) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = -2;$

6) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 0;$

7) $f(x) = 17, x_0 = 3;$

8) $f(x) = \frac{|x - 2|}{2 - x}, x_0 = 2.$

1) $f(x) = 2x - 1, x_0 = -1$

График функции $f(x) = 2x - 1$ — это прямая линия. Для построения найдем две точки: если $x=0$, то $f(0)=-1$; если $x=1$, то $f(1)=1$. Проводим прямую через точки $(0, -1)$ и $(1, 1)$.

Функция является непрерывной на всей числовой оси. Чтобы найти предел в точке $x_0 = -1$, можно просто подставить это значение в функцию, так как предел непрерывной функции в точке равен значению функции в этой точке.

$\lim_{x \to -1} (2x - 1) = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3$.

На графике видно, что при приближении $x$ к $-1$ как слева, так и справа, значения функции $f(x)$ стремятся к $-3$. Следовательно, предел существует.

Ответ: предел существует и равен -3.

2) $f(x) = 2x - 1, x_0 = 0$

График функции тот же, что и в предыдущем пункте — прямая $y = 2x - 1$.

Функция непрерывна в точке $x_0 = 0$. Предел в этой точке равен значению функции.

$\lim_{x \to 0} (2x - 1) = 2(0) - 1 = -1$.

На графике видно, что при приближении $x$ к $0$ с обеих сторон, значения функции $f(x)$ стремятся к $-1$. Следовательно, предел существует.

Ответ: предел существует и равен -1.

3) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}, x_0 = 1$

Область определения функции: все $x$, кроме $x = 2$. Упростим выражение, разложив числитель на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

$f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$ при $x \neq 2$.

График функции — это прямая $y = x+2$ с "выколотой" точкой при $x=2$. Координаты выколотой точки: $(2, 2+2) = (2, 4)$.

Точка $x_0 = 1$ принадлежит области определения функции, и в окрестности этой точки функция ведет себя как $y=x+2$. Так как функция $y=x+2$ непрерывна, предел в точке $x_0=1$ существует и равен значению функции в этой точке.

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 1} (x+2) = 1+2 = 3$.

Ответ: предел существует и равен 3.

4) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}, x_0 = 2$

Как и в предыдущем пункте, график функции — это прямая $y = x+2$ с выколотой точкой $(2, 4)$.

Точка $x_0 = 2$ не принадлежит области определения функции. Однако, предел в точке может существовать. Предел описывает поведение функции вблизи точки, а не в самой точке.

Найдем предел, используя упрощенное выражение для функции:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2 = 4$.

На графике видно, что при приближении $x$ к $2$ как слева, так и справа, значения функции $f(x)$ на прямой $y=x+2$ стремятся к $4$. Следовательно, предел существует, несмотря на то, что сама функция в точке $x=2$ не определена.

Ответ: предел существует и равен 4.

5) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = -2$

График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Точка $x_0 = -2$ принадлежит области определения функции ($x \neq 0$), и функция в этой точке непрерывна. Поэтому предел равен значению функции в этой точке.

$\lim_{x \to -2} \frac{1}{x} = \frac{1}{-2} = -0.5$.

На графике видно, что при приближении $x$ к $-2$, точка на гиперболе приближается к точке с ординатой $-0.5$. Следовательно, предел существует.

Ответ: предел существует и равен -0.5.

6) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 0$

График функции — гипербола $y = \frac{1}{x}$. Точка $x_0 = 0$ является точкой разрыва (вертикальная асимптота).

Чтобы определить, существует ли предел, рассмотрим односторонние пределы.

Предел слева: когда $x$ стремится к $0$ со стороны отрицательных чисел ($x \to 0^-$), значения $f(x)$ становятся бесконечно большими по модулю отрицательными числами. $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$.

Предел справа: когда $x$ стремится к $0$ со стороны положительных чисел ($x \to 0^+$), значения $f(x)$ становятся бесконечно большими положительными числами. $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$.

Поскольку односторонние пределы не равны (и не являются конечными числами), двусторонний предел в точке $x_0 = 0$ не существует.

Ответ: предел не существует.

7) $f(x) = 17, x_0 = 3$

График функции $f(x) = 17$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 17)$ параллельно оси абсцисс.

Функция является постоянной и непрерывной на всей числовой оси. Предел в любой точке равен значению функции.

$\lim_{x \to 3} 17 = 17$.

При приближении $x$ к $3$ с любой стороны, значение функции всегда остается равным $17$. Следовательно, предел существует.

Ответ: предел существует и равен 17.

8) $f(x) = \frac{|x - 2|}{2 - x}, x_0 = 2$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая. Область определения функции: $x \neq 2$.

1. Если $x > 2$, то $x-2 > 0$, и $|x-2| = x-2$. Тогда $f(x) = \frac{x-2}{2-x} = \frac{x-2}{-(x-2)} = -1$.

2. Если $x < 2$, то $x-2 < 0$, и $|x-2| = -(x-2) = 2-x$. Тогда $f(x) = \frac{2-x}{2-x} = 1$.

Таким образом, функция является кусочно-постоянной: $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x < 2 \\ -1, & \text{если } x > 2 \end{cases}$.

График функции состоит из двух лучей: горизонтального луча $y=1$ для $x < 2$ (с выколотой точкой на конце $(2, 1)$) и горизонтального луча $y=-1$ для $x > 2$ (с выколотой точкой в начале $(2, -1)$). В точке $x=2$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Найдем односторонние пределы в точке $x_0 = 2$.

Предел слева: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} 1 = 1$.

Предел справа: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (-1) = -1$.

Поскольку предел слева не равен пределу справа ($1 \neq -1$), двусторонний предел в точке $x_0=2$ не существует.

Ответ: предел не существует.