Номер 33.4, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.4. На рисунке 33.11 изображён график функции $y = f(x)$.

1) Чему равно значение функции $f$ в точке $x_0 = 1$?

2) Существует ли предел функции $f$ в точке $x_0 = 1$? В случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен.

3) Существует ли предел функции $f$ в точке $x_0 = 2$? В случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен.

Рис. 33.11

а

б

Для графика а

1) Чтобы найти значение функции $f(x)$ в точке $x_0 = 1$, необходимо найти на графике точку с абсциссой $x=1$. На графике для этого значения $x$ есть закрашенная точка с координатами $(1, 2)$. Это означает, что значение функции в этой точке равно ординате этой точки.

Ответ: $f(1) = 2$.

2) Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны друг другу её односторонние пределы (слева и справа) в этой точке.

• Левосторонний предел: когда $x$ приближается к 1 слева ($x \to 1^-$), значения функции $f(x)$ приближаются к 2. Таким образом, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$.
• Правосторонний предел: когда $x$ приближается к 1 справа ($x \to 1^+$), значения функции $f(x)$ приближаются к ординате выколотой точки, то есть к 1,5. Таким образом, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1.5$.

Поскольку левосторонний и правосторонний пределы не равны ($2 \neq 1.5$), предел функции в точке $x_0 = 1$ не существует. Это точка разрыва первого рода.

Ответ: предел не существует.

3) Чтобы определить, существует ли предел функции в точке $x_0 = 2$, снова рассмотрим односторонние пределы.

• Левосторонний предел: когда $x$ приближается к 2 слева ($x \to 2^-$), значения функции $f(x)$ приближаются к 1.
• Правосторонний предел: когда $x$ приближается к 2 справа ($x \to 2^+$), значения функции $f(x)$ также приближаются к 1.

Так как односторонние пределы существуют и равны друг другу, предел функции в точке $x_0 = 2$ существует и равен их общему значению. Функция в этой точке непрерывна, так как значение функции в точке совпадает с её пределом: $f(2) = 1$.

Ответ: да, существует, $\lim_{x \to 2} f(x) = 1$.

Для графика б

1) Найдём значение функции $f(x)$ в точке $x_0 = 1$. На графике в этой точке находится "пик" (точка излома), но она не выколота. Координаты этой точки $(1, 2)$. Следовательно, значение функции в этой точке равно её ординате.

Ответ: $f(1) = 2$.

2) Рассмотрим односторонние пределы в точке $x_0 = 1$.

• Левосторонний предел: когда $x$ приближается к 1 слева ($x \to 1^-$), значения $f(x)$ приближаются к 2.
• Правосторонний предел: когда $x$ приближается к 1 справа ($x \to 1^+$), значения $f(x)$ также приближаются к 2.

Поскольку односторонние пределы равны, предел в точке $x_0 = 1$ существует. Функция в этой точке непрерывна, хотя и недифференцируема.

Ответ: да, существует, $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$.

3) Рассмотрим односторонние пределы в точке $x_0 = 2$. На графике в точке с абсциссой $x=2$ находится выколотая точка. Это означает, что функция в этой точке не определена.

• Левосторонний предел: когда $x$ приближается к 2 слева ($x \to 2^-$), значения $f(x)$ приближаются к ординате выколотой точки, то есть к 1.
• Правосторонний предел: когда $x$ приближается к 2 справа ($x \to 2^+$), значения $f(x)$ также приближаются к 1.

Так как односторонние пределы равны, предел функции в точке $x_0 = 2$ существует. Это точка устранимого разрыва.

Ответ: да, существует, $\lim_{x \to 2} f(x) = 1$.