Номер 33.2, страница 242 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.2. Построив график функции $f$, выясните, имеет ли функция $f$ предел в точке $x_0$:

1) $f(x) = 2x + 1, x_0 = 1;$

2) $f(x) = 2x + 1, x_0 = -2;$

3) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}, x_0 = -1;$

4) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}, x_0 = -3;$

5) $f(x) = \frac{|x - 1|}{x - 1}, x_0 = 2;$

6) $f(x) = \frac{|x - 1|}{x - 1}, x_0 = 1.$

1) Дана функция $f(x) = 2x + 1$ и точка $x_0 = 1$.
Эта функция является линейной, её график — прямая линия. Линейная функция определена и непрерывна на всей числовой оси. График представляет собой прямую, проходящую через точки, например, $(0, 1)$ и $(1, 3)$.
Поскольку функция непрерывна в точке $x_0 = 1$, её предел в этой точке равен значению функции.
$\lim_{x \to 1} (2x + 1) = 2(1) + 1 = 3$.
Предел существует.
Ответ: да, функция имеет предел в точке $x_0 = 1$, он равен 3.

2) Дана функция $f(x) = 2x + 1$ и точка $x_0 = -2$.
Это та же линейная функция, что и в предыдущем пункте. Она непрерывна на всей числовой оси. График — прямая линия.
Для нахождения предела в точке $x_0 = -2$ достаточно подставить это значение в функцию.
$\lim_{x \to -2} (2x + 1) = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3$.
Предел существует.
Ответ: да, функция имеет предел в точке $x_0 = -2$, он равен -3.

3) Дана функция $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ и точка $x_0 = -1$.
Область определения функции — все действительные числа, кроме $x = -3$. Упростим функцию, разложив числитель на множители: $f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}$.
При $x \neq -3$ функция эквивалентна $f(x) = x - 3$. График этой функции — прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой при $x = -3$. Координаты выколотой точки: $(-3, -3-3) = (-3, -6)$.
Точка $x_0 = -1$ входит в область определения функции. В окрестности этой точки функция непрерывна, поэтому предел равен значению функции в этой точке.
$\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 9}{x + 3} = \frac{(-1)^2 - 9}{-1 + 3} = \frac{1-9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Предел существует.
Ответ: да, функция имеет предел в точке $x_0 = -1$, он равен -4.

4) Дана функция $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ и точка $x_0 = -3$.
Точка $x_0 = -3$ не входит в область определения функции, так как знаменатель обращается в ноль. В этой точке функция имеет устранимый разрыв.
График функции, как и в п. 3, — это прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой $(-3, -6)$.
Чтобы выяснить, существует ли предел в точке разрыва, рассмотрим поведение функции в её окрестности. Используем упрощенное выражение для функции:
$\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x + 3} = \lim_{x \to -3} \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} = \lim_{x \to -3} (x-3) = -3 - 3 = -6$.
Когда $x$ приближается к -3 (как слева, так и справа), значение функции стремится к -6. Следовательно, предел существует.
Ответ: да, функция имеет предел в точке $x_0 = -3$, он равен -6.

5) Дана функция $f(x) = \frac{|x-1|}{x-1}$ и точка $x_0 = 2$.
Область определения функции: $x \neq 1$. Раскроем модуль:
Если $x > 1$, то $|x-1| = x-1$, и $f(x) = \frac{x-1}{x-1} = 1$.
Если $x < 1$, то $|x-1| = -(x-1)$, и $f(x) = \frac{-(x-1)}{x-1} = -1$.
График функции представляет собой два горизонтальных луча: $y = 1$ для $x > 1$ и $y = -1$ для $x < 1$. В точке $x=1$ функция имеет разрыв.
Нас интересует предел в точке $x_0 = 2$. Так как $2 > 1$, в окрестности этой точки функция тождественно равна 1.
$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} 1 = 1$.
Предел существует.
Ответ: да, функция имеет предел в точке $x_0 = 2$, он равен 1.

6) Дана функция $f(x) = \frac{|x-1|}{x-1}$ и точка $x_0 = 1$.
Как мы выяснили в п. 5, в точке $x_0 = 1$ функция не определена и имеет разрыв. График функции состоит из двух лучей: $y=1$ при $x>1$ и $y=-1$ при $x<1$.
Для существования предела в точке необходимо, чтобы левый и правый односторонние пределы в этой точке были равны.
Правый предел (при $x \to 1^+$): $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} 1 = 1$.
Левый предел (при $x \to 1^-$): $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (-1) = -1$.
Так как левый и правый пределы не равны ($ -1 \neq 1 $), предел функции в точке $x_0 = 1$ не существует.
Ответ: нет, функция не имеет предела в точке $x_0 = 1$.