Номер 2, страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Решите неравенство:

1) $4 \cos x \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)>\sqrt{3}$;

2) $3+2 \sin 3x \sin x > 3 \cos 2x.$

Исходное неравенство: $4 \cos x \cos(x + \frac{\pi}{6}) > \sqrt{3}$.
Для преобразования левой части неравенства воспользуемся формулой произведения косинусов: $2\cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)$.
Применим эту формулу к нашему выражению: $4 \cos x \cos(x + \frac{\pi}{6}) = 2 \cdot [2 \cos(x + \frac{\pi}{6}) \cos x] = 2 [\cos(x + \frac{\pi}{6} + x) + \cos(x + \frac{\pi}{6} - x)] = 2[\cos(2x + \frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{6})]$.
Подставим известное значение $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $2[\cos(2x + \frac{\pi}{6}) + \frac{\sqrt{3}}{2}] = 2\cos(2x + \frac{\pi}{6}) + \sqrt{3}$.
Теперь вернемся к исходному неравенству: $2\cos(2x + \frac{\pi}{6}) + \sqrt{3} > \sqrt{3}$.
Вычтем $\sqrt{3}$ из обеих частей: $2\cos(2x + \frac{\pi}{6}) > 0$.
$\cos(2x + \frac{\pi}{6}) > 0$.
Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Косинус положителен в I и IV координатных четвертях. Это соответствует интервалу: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 2x + \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь выразим $x$. Сначала вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства: $-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
$-\frac{3\pi+\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{3\pi-\pi}{6} + 2\pi n$.
$-\frac{4\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{2\pi}{6} + 2\pi n$.
$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.
Разделим все части неравенства на 2: $-\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Исходное неравенство: $3 + 2\sin 3x \sin x > 3\cos 2x$.
Для преобразования произведения синусов воспользуемся формулой: $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$.
Применим эту формулу к нашему выражению: $2\sin 3x \sin x = \cos(3x-x) - \cos(3x+x) = \cos(2x) - \cos(4x)$.
Подставим это выражение в исходное неравенство: $3 + (\cos(2x) - \cos(4x)) > 3\cos 2x$.
$3 + \cos(2x) - \cos(4x) - 3\cos 2x > 0$.
$3 - 2\cos(2x) - \cos(4x) > 0$.
Теперь используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$. Для нашего случая $\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1$: $3 - 2\cos(2x) - (2\cos^2(2x) - 1) > 0$.
$3 - 2\cos(2x) - 2\cos^2(2x) + 1 > 0$.
$-2\cos^2(2x) - 2\cos(2x) + 4 > 0$.
Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства: $\cos^2(2x) + \cos(2x) - 2 < 0$.
Сделаем замену $y = \cos(2x)$, при этом учтем, что $-1 \le y \le 1$. Получим квадратное неравенство: $y^2 + y - 2 < 0$.
Найдем корни уравнения $y^2 + y - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.
Решением неравенства $(y-1)(y+2) < 0$ является интервал $-2 < y < 1$.
Вернемся к замене и объединим полученное решение с условием $-1 \le y \le 1$: система $\begin{cases} -2 < \cos(2x) < 1 \\ -1 \le \cos(2x) \le 1 \end{cases}$ равносильна неравенству $-1 \le \cos(2x) < 1$.
Это неравенство можно разбить на два: $\cos(2x) \ge -1$ (которое верно для любого $x$) и $\cos(2x) < 1$.
Таким образом, нам нужно решить только неравенство $\cos(2x) < 1$.
Функция косинус принимает значение 1 в точках вида $2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Следовательно, нам нужно исключить случаи, когда $\cos(2x) = 1$: $2x \ne 2\pi k$.
$x \ne \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Это означает, что решением являются все действительные числа, кроме тех, что имеют вид $\pi k$.

Ответ: $x \ne \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.