Номер 32.5, страница 234 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.5. Решите неравенство:

1) $ \text{tg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \le \sqrt{3}; $

2) $ \text{cos}\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) > -\frac{1}{2}; $

3) $ \text{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - x\right) > \frac{1}{\sqrt{3}}; $

4) $ 2\text{sin}\left(\frac{\pi}{6} - 3x\right) \le \sqrt{3}; $

5) $ \text{cos}\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \le -\frac{\sqrt{2}}{2}; $

6) $ \text{sin}(1 - 2x) < -\frac{\sqrt{2}}{2}. $

1) Решим неравенство $tg(x - \frac{\pi}{3}) \le \sqrt{3}$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = x - \frac{\pi}{3}$. Неравенство примет вид $tg(t) \le \sqrt{3}$.
Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является совокупность интервалов, учитывая область определения тангенса ($t \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$):
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le arctg(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in Z$.
Поскольку $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in Z$.
Выполним обратную замену:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x - \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{3} + \pi n$.
Прибавим ко всем частям неравенства $\frac{\pi}{3}$, чтобы выразить $x$:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi n < x \le \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + \pi n$.
$-\frac{3\pi - 2\pi}{6} + \pi n < x \le \frac{2\pi}{3} + \pi n$.
$-\frac{\pi}{6} + \pi n < x \le \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{2\pi}{3} + \pi n]$, $n \in Z$.

2) Решим неравенство $\cos(2x - \frac{\pi}{6}) > -\frac{1}{2}$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = 2x - \frac{\pi}{6}$. Неравенство примет вид $\cos(t) > -\frac{1}{2}$.
Решением этого неравенства является совокупность интервалов:
$-\arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n < t < \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$, получаем:
$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Выполним обратную замену:
$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < 2x - \frac{\pi}{6} < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.
Прибавим ко всем частям неравенства $\frac{\pi}{6}$:
$-\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
$-\frac{4\pi + \pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{4\pi + \pi}{6} + 2\pi n$.
$-\frac{3\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, что равносильно $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 2x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.
Разделим все части на 2:
$-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{5\pi}{12} + \pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{5\pi}{12} + \pi n)$, $n \in Z$.

3) Решим неравенство $ctg(\frac{\pi}{4} - x) > \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{\pi}{4} - x$. Неравенство примет вид $ctg(t) > \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Решением этого неравенства, учитывая область определения котангенса ($t \neq \pi n$), является совокупность интервалов:
$\pi n < t < arcctg(\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n$, где $n \in Z$.
Поскольку $arcctg(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:
$\pi n < t < \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in Z$.
Выполним обратную замену:
$\pi n < \frac{\pi}{4} - x < \frac{\pi}{3} + \pi n$.
Вычтем из всех частей $\frac{\pi}{4}$:
$\pi n - \frac{\pi}{4} < -x < \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \pi n$.
$-\frac{\pi}{4} + \pi n < -x < \frac{4\pi - 3\pi}{12} + \pi n$.
$-\frac{\pi}{4} + \pi n < -x < \frac{\pi}{12} + \pi n$.
Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:
$\frac{\pi}{4} - \pi n > x > -\frac{\pi}{12} - \pi n$.
Запишем в стандартном виде: $-\frac{\pi}{12} - \pi n < x < \frac{\pi}{4} - \pi n$.
Так как $n$ — любое целое число, то $-n$ также является любым целым числом. Заменим $-n$ на $k$, где $k \in Z$, для более привычной записи:
$-\frac{\pi}{12} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in Z$.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{12} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n)$, $n \in Z$.

4) Решим неравенство $2\sin(\frac{\pi}{6} - 3x) \le \sqrt{3}$.
Разделим обе части на 2: $\sin(\frac{\pi}{6} - 3x) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Используем свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$: $\sin(\frac{\pi}{6} - 3x) = -\sin(3x - \frac{\pi}{6})$.
Неравенство примет вид: $-\sin(3x - \frac{\pi}{6}) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $\sin(3x - \frac{\pi}{6}) \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сделаем замену $t = 3x - \frac{\pi}{6}$. Получим $\sin(t) \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решением этого неравенства является совокупность интервалов:
$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n \le t \le \pi - \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in Z$.
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \pi - (-\frac{\pi}{3}) + 2\pi n$.
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Выполним обратную замену:
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 3x - \frac{\pi}{6} \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$.
Прибавим $\frac{\pi}{6}$ ко всем частям:
$-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le 3x \le \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
$-\frac{2\pi + \pi}{6} + 2\pi n \le 3x \le \frac{8\pi + \pi}{6} + 2\pi n$.
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \le 3x \le \frac{9\pi}{6} + 2\pi n \implies -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \le 3x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.
Разделим все части на 3:
$-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \le x \le \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in Z$.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}]$, $n \in Z$.

5) Решим неравенство $\cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сделаем замену $t = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$. Неравенство примет вид $\cos(t) \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решением этого неравенства является совокупность интервалов:
$\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n \le t \le 2\pi - \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$, получаем:
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le t \le 2\pi - \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le t \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Выполним обратную замену:
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.
Вычтем из всех частей $\frac{\pi}{4}$:
$\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.
$\frac{2\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{4\pi}{4} + 2\pi n \implies \frac{\pi}{2} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \pi + 2\pi n$.
Умножим все части на 2:
$\pi + 4\pi n \le x \le 2\pi + 4\pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x \in [\pi + 4\pi n; 2\pi + 4\pi n]$, $n \in Z$.

6) Решим неравенство $\sin(1 - 2x) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Используем свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$: $\sin(1 - 2x) = -\sin(2x - 1)$.
Неравенство примет вид: $-\sin(2x - 1) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $\sin(2x - 1) > \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сделаем замену $t = 2x - 1$. Получим $\sin(t) > \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решением этого неравенства является совокупность интервалов:
$\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n < t < \pi - \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in Z$.
$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.
$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Выполним обратную замену:
$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < 2x - 1 < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.
Прибавим ко всем частям 1:
$1 + \frac{\pi}{4} + 2\pi n < 2x < 1 + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.
Разделим все части на 2:
$\frac{1}{2} + \frac{\pi}{8} + \pi n < x < \frac{1}{2} + \frac{3\pi}{8} + \pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x \in (\frac{1}{2} + \frac{\pi}{8} + \pi n; \frac{1}{2} + \frac{3\pi}{8} + \pi n)$, $n \in Z$.