Номер 32.2, страница 234 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.2. Решите неравенство:

1) $ \sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2} $;

2) $ \sin x > -\frac{1}{2} $;

3) $ \cos x \le \frac{1}{2} $;

4) $ \cos x > \frac{\sqrt{3}}{2} $;

5) $ \text{tg } x \ge -1 $;

6) $ \text{tg } x < -\sqrt{3} $;

7) $ \text{ctg } x > \frac{\sqrt{3}}{3} $;

8) $ \text{ctg } x \le 1 $;

9) $ \cos x > \frac{3}{5} $;

10) $ \text{ctg } x < 2 $.

1) Решим неравенство $ \sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Для решения этого неравенства воспользуемся тригонометрической окружностью. Сначала найдем углы, для которых $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Этими углами являются $ x = \frac{\pi}{4} $ и $ x = \frac{3\pi}{4} $.

Нам нужны значения $x$, при которых ордината (координата y) точки на окружности не превышает $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это соответствует дуге, которая начинается в точке $ \frac{3\pi}{4} $, проходит через точки $ \pi, \frac{3\pi}{2} $ и заканчивается в точке $ \frac{\pi}{4} $ следующего оборота. Длина этого интервала составляет $ (\frac{9\pi}{4} - \frac{3\pi}{4}) = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} $.

Запишем этот интервал, учитывая периодичность синуса (период $2\pi$). Решением будет объединение интервалов $ [\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{9\pi}{4} + 2\pi n] $, где $n \in \mathbb{Z}$. Эту же серию решений можно записать в более компактном виде: $ [-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n] $.

Ответ: $ -\frac{5\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) Решим неравенство $ \sin x > -\frac{1}{2} $.

Найдем на тригонометрической окружности точки, для которых $ \sin x = -\frac{1}{2} $. Это углы $ x = -\frac{\pi}{6} $ и $ x = \frac{7\pi}{6} $.

Неравенству $ \sin x > -\frac{1}{2} $ соответствуют точки на окружности, ордината которых больше $ -\frac{1}{2} $. Это дуга, идущая от точки $ -\frac{\pi}{6} $ против часовой стрелки к точке $ \frac{7\pi}{6} $.

Таким образом, на одном из периодов решение представляет собой интервал $ (-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}) $. Учитывая периодичность функции синус, общее решение получается добавлением $ 2\pi n $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

3) Решим неравенство $ \cos x \le \frac{1}{2} $.

Найдем углы, для которых $ \cos x = \frac{1}{2} $. На тригонометрической окружности это углы $ x = \frac{\pi}{3} $ и $ x = -\frac{\pi}{3} $ (или $ x = \frac{5\pi}{3} $).

Нам нужны значения $x$, при которых абсцисса (координата x) точки на окружности меньше или равна $ \frac{1}{2} $. Это соответствует дуге, которая начинается в точке $ \frac{\pi}{3} $ и идет против часовой стрелки к точке $ \frac{5\pi}{3} $.

Решением на одном периоде является интервал $ [\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}] $. Добавляя период косинуса $ 2\pi n $, получаем общее решение.

Ответ: $ \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

4) Решим неравенство $ \cos x > \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Найдем углы, для которых $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это углы $ x = \frac{\pi}{6} $ и $ x = -\frac{\pi}{6} $.

Неравенству $ \cos x > \frac{\sqrt{3}}{2} $ соответствуют точки на окружности, абсцисса которых больше $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это дуга, заключенная между точками $ -\frac{\pi}{6} $ и $ \frac{\pi}{6} $.

Решением на одном периоде является интервал $ (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}) $. Общее решение получаем, прибавляя период $ 2\pi n $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

5) Решим неравенство $ \text{tg } x \ge -1 $.

Период тангенса равен $ \pi $. Рассмотрим решение на основном интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $. Найдем корень уравнения $ \text{tg } x = -1 $, который равен $ x = -\frac{\pi}{4} $. Функция $ y = \text{tg } x $ является возрастающей на своем интервале определения. Поэтому неравенство $ \text{tg } x \ge -1 $ выполняется для всех $ x $, которые больше или равны $ -\frac{\pi}{4} $. С учетом вертикальной асимптоты $ x = \frac{\pi}{2} $, получаем интервал $ [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) $.

Добавляя период тангенса $ \pi n $, получаем общее решение.

Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

6) Решим неравенство $ \text{tg } x < -\sqrt{3} $.

Рассмотрим решение на интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $. Найдем корень уравнения $ \text{tg } x = -\sqrt{3} $, который равен $ x = -\frac{\pi}{3} $. Так как функция $ \text{tg } x $ возрастающая, неравенство $ \text{tg } x < -\sqrt{3} $ выполняется для всех $x$, которые меньше $ -\frac{\pi}{3} $. С учетом левой асимптоты $ x = -\frac{\pi}{2} $, получаем интервал $ (-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}) $.

Общее решение получаем, прибавляя период $ \pi n $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{2} + \pi n < x < -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

7) Решим неравенство $ \text{ctg } x > \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Период котангенса равен $ \pi $. Рассмотрим решение на основном интервале $ (0, \pi) $. Найдем корень уравнения $ \text{ctg } x = \frac{\sqrt{3}}{3} $, который равен $ x = \frac{\pi}{3} $. Функция $ y = \text{ctg } x $ является убывающей на своем интервале определения. Поэтому неравенство $ \text{ctg } x > \frac{\sqrt{3}}{3} $ выполняется для всех $x$, которые меньше $ \frac{\pi}{3} $. С учетом вертикальной асимптоты $ x = 0 $, получаем интервал $ (0, \frac{\pi}{3}) $.

Добавляя период котангенса $ \pi n $, получаем общее решение.

Ответ: $ \pi n < x < \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

8) Решим неравенство $ \text{ctg } x \le 1 $.

Рассмотрим решение на интервале $ (0, \pi) $. Корень уравнения $ \text{ctg } x = 1 $ равен $ x = \frac{\pi}{4} $. Так как функция $ \text{ctg } x $ убывающая, неравенство $ \text{ctg } x \le 1 $ будет выполняться для всех $x$, которые больше или равны $ \frac{\pi}{4} $. С учетом асимптоты $ x = \pi $, получаем полуинтервал $ [\frac{\pi}{4}, \pi) $.

Общее решение получаем, прибавляя период $ \pi n $.

Ответ: $ \frac{\pi}{4} + \pi n \le x < \pi + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

9) Решим неравенство $ \cos x > \frac{3}{5} $.

Так как $ \frac{3}{5} $ не является табличным значением для косинуса, используем аркфункцию. Решениями уравнения $ \cos x = \frac{3}{5} $ являются $ x = \pm\arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi n $.

На тригонометрической окружности неравенству $ \cos x > \frac{3}{5} $ соответствуют точки, абсцисса которых больше $ \frac{3}{5} $. Это дуга, заключенная между точками $ -\arccos(\frac{3}{5}) $ и $ \arccos(\frac{3}{5}) $.

Учитывая периодичность, получаем общее решение.

Ответ: $ -\arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi n < x < \arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

10) Решим неравенство $ \text{ctg } x < 2 $.

Рассмотрим решение на интервале $ (0, \pi) $. Значение $2$ не является табличным для котангенса, поэтому используем арккотангенс. Корень уравнения $ \text{ctg } x = 2 $ равен $ x = \text{arccot}(2) $. Функция $ \text{ctg } x $ является убывающей. Следовательно, неравенство $ \text{ctg } x < 2 $ выполняется для всех $x$, которые больше $ \text{arccot}(2) $. Учитывая правую асимптоту $ x = \pi $, получаем интервал $ (\text{arccot}(2), \pi) $.

Прибавляя период $ \pi n $, получаем общее решение.

Ответ: $ \text{arccot}(2) + \pi n < x < \pi + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.