Номер 32.1, страница 234 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.1. Решите неравенство:

1) $\sin x < \frac{1}{2}$;

2) $\sin x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

3) $\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$;

4) $\cos x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$;

5) $\operatorname{tg} x < -1$;

6) $\operatorname{tg} x \ge \frac{\sqrt{3}}{3}$;

7) $\operatorname{ctg} x \le \sqrt{3}$;

8) $\operatorname{ctg} x > -1$;

9) $\sin x < \frac{1}{6}$;

10) $\operatorname{tg} x > 3$.

1)

Решим неравенство $\sin x < \frac{1}{2}$.
Сначала найдем корни уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ это $x_1 = \frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
На единичной окружности значениям $\sin x$, меньшим $\frac{1}{2}$, соответствуют точки, лежащие ниже прямой $y = \frac{1}{2}$.
Это дуга, которая начинается в точке, соответствующей углу $\frac{5\pi}{6}$, и, двигаясь против часовой стрелки, заканчивается в точке, соответствующей углу $\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$.
Таким образом, решение на одном обороте: $\frac{5\pi}{6} < x < \frac{13\pi}{6}$.
Общее решение, учитывая периодичность синуса ($2\pi$), имеет вид: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Это можно записать и в другой форме: $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2)

Решим неравенство $\sin x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сначала найдем корни уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. На промежутке $[-\pi, \pi]$ это $x_1 = -\frac{\pi}{3}$ и $x_2 = -\frac{2\pi}{3}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ это $x_1 = \frac{4\pi}{3}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{3}$.
На единичной окружности значениям $\sin x$, большим или равным $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, соответствуют точки, лежащие выше или на прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это дуга, которая начинается в точке $-\frac{\pi}{3}$ и, двигаясь против часовой стрелки, заканчивается в точке $\frac{4\pi}{3}$.
Таким образом, решение на одном обороте: $-\frac{\pi}{3} \le x \le \frac{4\pi}{3}$.
Общее решение: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

3)

Решим неравенство $\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Корни уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на промежутке $[-\pi, \pi]$: $x_1 = -\frac{\pi}{4}$ и $x_2 = \frac{\pi}{4}$.
На единичной окружности значениям $\cos x$, большим $\frac{\sqrt{2}}{2}$, соответствуют точки, лежащие правее прямой $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это дуга от $-\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{4}$.
Общее решение: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

4)

Решим неравенство $\cos x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Корни уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $[0, 2\pi]$: $x_1 = \frac{\pi}{6}$ и $x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.
На единичной окружности значениям $\cos x$, меньшим или равным $\frac{\sqrt{3}}{2}$, соответствуют точки, лежащие левее или на прямой $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это дуга от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{11\pi}{6}$.
Общее решение: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

5)

Решим неравенство $\tg x < -1$.
Основной корень уравнения $\tg x = -1$ это $x = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Функция $\tg x$ имеет период $\pi$ и вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим один период, например, $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Функция $\tg x$ возрастает на этом интервале.
Неравенство $\tg x < -1$ выполняется для $x$, находящихся между левой асимптотой и точкой $x = -\frac{\pi}{4}$.
Таким образом, на одном периоде решение: $-\frac{\pi}{2} < x < -\frac{\pi}{4}$.
Общее решение: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -\frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

6)

Решим неравенство $\tg x \ge \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Основной корень уравнения $\tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ это $x = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Рассмотрим период $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Так как $\tg x$ — возрастающая функция, неравенство $\tg x \ge \frac{\sqrt{3}}{3}$ выполняется для $x$, находящихся между $\frac{\pi}{6}$ и правой асимптотой $\frac{\pi}{2}$.
Таким образом, на одном периоде решение: $\frac{\pi}{6} \le x < \frac{\pi}{2}$.
Общее решение: $\frac{\pi}{6} + \pi k \le x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6} + \pi k \le x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

7)

Решим неравенство $\ctg x \le \sqrt{3}$.
Основной корень уравнения $\ctg x = \sqrt{3}$ это $x = \text{arccot}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Функция $\ctg x$ имеет период $\pi$ и вертикальные асимптоты в точках $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим один период, например, $(0, \pi)$. Функция $\ctg x$ убывает на этом интервале.
Неравенство $\ctg x \le \sqrt{3}$ выполняется для $x$, находящихся между $\frac{\pi}{6}$ и правой асимптотой $\pi$.
Таким образом, на одном периоде решение: $\frac{\pi}{6} \le x < \pi$.
Общее решение: $\frac{\pi}{6} + \pi k \le x < \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6} + \pi k \le x < \pi + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

8)

Решим неравенство $\ctg x > -1$.
Основной корень уравнения $\ctg x = -1$ это $x = \text{arccot}(-1) = \frac{3\pi}{4}$.
Рассмотрим период $(0, \pi)$. Так как $\ctg x$ — убывающая функция, неравенство $\ctg x > -1$ выполняется для $x$, находящихся между левой асимптотой $0$ и точкой $\frac{3\pi}{4}$.
Таким образом, на одном периоде решение: $0 < x < \frac{3\pi}{4}$.
Общее решение: $\pi k < x < \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pi k < x < \frac{3\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

9)

Решим неравенство $\sin x < \frac{1}{6}$.
Корни уравнения $\sin x = \frac{1}{6}$ выражаются через арксинус: $x_1 = \arcsin(\frac{1}{6})$ и $x_2 = \pi - \arcsin(\frac{1}{6})$.
По аналогии с заданием 1), на единичной окружности искомые значения $x$ соответствуют дуге, начинающейся в точке $\pi - \arcsin(\frac{1}{6})$ и заканчивающейся в точке $2\pi + \arcsin(\frac{1}{6})$.
Общее решение: $\pi - \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi k < x < 2\pi + \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эквивалентная форма записи: $-\pi - \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi k < x < \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pi - \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi k < x < 2\pi + \arcsin(\frac{1}{6}) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

10)

Решим неравенство $\tg x > 3$.
Корень уравнения $\tg x = 3$ выражается через арктангенс: $x = \arctan(3)$.
По аналогии с заданием 6), так как $\tg x$ — возрастающая функция на своем периоде, неравенство $\tg x > 3$ выполняется для $x$, находящихся между $\arctan(3)$ и правой асимптотой $\frac{\pi}{2}$.
Таким образом, на одном периоде решение: $\arctan(3) < x < \frac{\pi}{2}$.
Общее решение: $\arctan(3) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\arctan(3) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.