Номер 2, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Решите уравнение:

1) $ \sin 3x \cos 2x = \sin 5x; $

2) $ 2\cos(x + 20^\circ)\cos x = \cos 40^\circ. $

1) $sin3x \cdot cos2x = sin5x$

Перенесем $sin5x$ в левую часть уравнения и представим его как синус суммы двух углов, $sin(3x+2x)$.

$sin3x \cdot cos2x - sin(3x+2x) = 0$

Воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta$.

$sin3x \cdot cos2x - (sin3x \cdot cos2x + cos3x \cdot sin2x) = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$sin3x \cdot cos2x - sin3x \cdot cos2x - cos3x \cdot sin2x = 0$

$-cos3x \cdot sin2x = 0$

$cos3x \cdot sin2x = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

a) $cos3x = 0$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения.

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

б) $sin2x = 0$

Это также частный случай.

$2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединяя оба решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, x = \frac{\pi n}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2cos(x+20^{\circ})cosx = cos40^{\circ}$

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $2cos\alpha \cdot cos\beta = cos(\alpha+\beta) + cos(\alpha-\beta)$.

В нашем случае $\alpha = x+20^{\circ}$ и $\beta = x$.

$cos((x+20^{\circ})+x) + cos((x+20^{\circ})-x) = cos40^{\circ}$

Упростим выражение в левой части:

$cos(2x+20^{\circ}) + cos(20^{\circ}) = cos40^{\circ}$

Выразим $cos(2x+20^{\circ})$:

$cos(2x+20^{\circ}) = cos40^{\circ} - cos20^{\circ}$

Теперь преобразуем разность косинусов в правой части в произведение по формуле: $cos\alpha - cos\beta = -2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$cos40^{\circ} - cos20^{\circ} = -2sin\frac{40^{\circ}+20^{\circ}}{2}sin\frac{40^{\circ}-20^{\circ}}{2} = -2sin30^{\circ}sin10^{\circ}$

Зная, что $sin30^{\circ} = \frac{1}{2}$, получаем:

$-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot sin10^{\circ} = -sin10^{\circ}$

Уравнение принимает вид:

$cos(2x+20^{\circ}) = -sin10^{\circ}$

Используем формулу приведения $ -sin\alpha = cos(90^{\circ}+\alpha) $:

$cos(2x+20^{\circ}) = cos(90^{\circ}+10^{\circ})$

$cos(2x+20^{\circ}) = cos(100^{\circ})$

Решаем уравнение вида $cos(A)=cos(B)$, которое имеет решения $A = \pm B + 360^{\circ}k$.

$2x+20^{\circ} = \pm 100^{\circ} + 360^{\circ}k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим два случая:

a) $2x+20^{\circ} = 100^{\circ} + 360^{\circ}k$

$2x = 80^{\circ} + 360^{\circ}k$

$x = 40^{\circ} + 180^{\circ}k$, где $k \in \mathbb{Z}$

б) $2x+20^{\circ} = -100^{\circ} + 360^{\circ}k$

$2x = -120^{\circ} + 360^{\circ}k$

$x = -60^{\circ} + 180^{\circ}k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 40^{\circ} + 180^{\circ}k, x = -60^{\circ} + 180^{\circ}k$, где $k \in \mathbb{Z}$.