Номер 31.9, страница 225 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.9. Решите неравенство:

1) $\frac{3}{x+2} \ge \frac{5}{2-x}$;

2) $\frac{2}{1-2x} \le \frac{3}{x+5}$.

1) $\frac{3}{x+2} \ge \frac{5}{2-x}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:

$x+2 \ne 0 \implies x \ne -2$

$2-x \ne 0 \implies x \ne 2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{3}{x+2} - \frac{5}{2-x} \ge 0$

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, заметим, что $2-x = -(x-2)$.

$\frac{3}{x+2} + \frac{5}{x-2} \ge 0$

Приведем к общему знаменателю $(x+2)(x-2)$:

$\frac{3(x-2) + 5(x+2)}{(x+2)(x-2)} \ge 0$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{3x - 6 + 5x + 10}{(x+2)(x-2)} \ge 0$

$\frac{8x + 4}{(x+2)(x-2)} \ge 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.

Корень числителя: $8x + 4 = 0 \implies 8x = -4 \implies x = -0,5$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эта точка будет включена в решение (закрашенная точка на числовой оси).

Корни знаменателя: $x+2=0 \implies x=-2$ и $x-2=0 \implies x=2$. Эти точки не входят в ОДЗ (выколотые точки на числовой оси).

Нанесем точки $-2, -0,5, 2$ на числовую ось и определим знаки выражения $\frac{8x + 4}{(x+2)(x-2)}$ в полученных интервалах:

- при $x \in (2, +\infty)$ (возьмем $x=3$): $\frac{8(3)+4}{(3+2)(3-2)} = \frac{28}{5} > 0$. Знак "+".
- при $x \in (-0,5, 2)$ (возьмем $x=0$): $\frac{8(0)+4}{(0+2)(0-2)} = \frac{4}{-4} = -1 < 0$. Знак "-".
- при $x \in (-2, -0,5)$ (возьмем $x=-1$): $\frac{8(-1)+4}{(-1+2)(-1-2)} = \frac{-4}{-3} > 0$. Знак "+".
- при $x \in (-\infty, -2)$ (возьмем $x=-3$): $\frac{8(-3)+4}{(-3+2)(-3-2)} = \frac{-20}{5} = -4 < 0$. Знак "-".

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знаки "+"). Это объединение интервалов $(-2, -0,5]$ и $(2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-2; -0,5] \cup (2; +\infty)$.

2) $\frac{2}{1-2x} \le \frac{3}{x+5}$

Найдем ОДЗ:

$1-2x \ne 0 \implies 2x \ne 1 \implies x \ne \frac{1}{2}$

$x+5 \ne 0 \implies x \ne -5$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{2}{1-2x} - \frac{3}{x+5} \le 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $(1-2x)(x+5)$:

$\frac{2(x+5) - 3(1-2x)}{(1-2x)(x+5)} \le 0$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{2x + 10 - 3 + 6x}{(1-2x)(x+5)} \le 0$

$\frac{8x + 7}{(1-2x)(x+5)} \le 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корень числителя: $8x + 7 = 0 \implies 8x = -7 \implies x = -\frac{7}{8}$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка будет включена в решение (закрашенная точка).

Корни знаменателя: $1-2x=0 \implies x=\frac{1}{2}$ и $x+5=0 \implies x=-5$. Эти точки не входят в ОДЗ (выколотые точки).

Нанесем точки $-5, -\frac{7}{8}, \frac{1}{2}$ на числовую ось и определим знаки выражения $\frac{8x + 7}{(1-2x)(x+5)}$ в полученных интервалах:

- при $x \in (\frac{1}{2}, +\infty)$ (возьмем $x=1$): $\frac{8(1)+7}{(1-2(1))(1+5)} = \frac{15}{(-1)(6)} < 0$. Знак "-".
- при $x \in (-\frac{7}{8}, \frac{1}{2})$ (возьмем $x=0$): $\frac{8(0)+7}{(1-2(0))(0+5)} = \frac{7}{5} > 0$. Знак "+".
- при $x \in (-5, -\frac{7}{8})$ (возьмем $x=-1$): $\frac{8(-1)+7}{(1-2(-1))(-1+5)} = \frac{-1}{(3)(4)} < 0$. Знак "-".
- при $x \in (-\infty, -5)$ (возьмем $x=-6$): $\frac{8(-6)+7}{(1-2(-6))(-6+5)} = \frac{-41}{(13)(-1)} > 0$. Знак "+".

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю (знаки "-"). Это объединение интервалов $(-5, -\frac{7}{8}]$ и $(\frac{1}{2}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-5; -\frac{7}{8}] \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.