Номер 31.2, страница 224 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.2. Решите уравнение:

1) $ \sin 7x + \sin x = 0 $;

2) $ \cos 9x - \cos x = 0 $;

3) $ \tg^3 x + \tg^2 x - 2\tg x - 2 = 0 $;

4) $ \sqrt{2} \cos x \ctg x - 3\sqrt{2} \cos x + \ctg x - 3 = 0 $.

1) $\sin 7x + \sin x = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Применим ее к нашему уравнению:

$2 \sin\frac{7x+x}{2} \cos\frac{7x-x}{2} = 0$

$2 \sin 4x \cos 3x = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $\sin 4x = 0$
$4x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$

2. $\cos 3x = 0$
$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Объединяем решения.
Ответ: $\frac{\pi k}{4}; \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos 9x - \cos x = 0$

Воспользуемся формулой разности косинусов: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Применим ее к уравнению:

$-2 \sin\frac{9x+x}{2} \sin\frac{9x-x}{2} = 0$

$-2 \sin 5x \sin 4x = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $\sin 5x = 0$
$5x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$

2. $\sin 4x = 0$
$4x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$

Объединяем полученные серии решений.
Ответ: $\frac{\pi k}{5}; \frac{\pi n}{4}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\tg^3 x + \tg^2 x - 2\tg x - 2 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = \tg x$. Уравнение примет вид:

$t^3 + t^2 - 2t - 2 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(t^3 + t^2) - (2t + 2) = 0$

$t^2(t+1) - 2(t+1) = 0$

$(t^2 - 2)(t+1) = 0$

Получаем два случая:

1. $t+1 = 0 \Rightarrow t = -1$
2. $t^2-2 = 0 \Rightarrow t^2 = 2 \Rightarrow t = \pm\sqrt{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

1. $\tg x = -1$
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. $\tg x = \sqrt{2}$
$x = \arctan(\sqrt{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

3. $\tg x = -\sqrt{2}$
$x = -\arctan(\sqrt{2}) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Последние два решения можно объединить в одну запись.
Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi k; \pm\arctan(\sqrt{2}) + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\sqrt{2} \cos x \ctg x - 3\sqrt{2} \cos x + \ctg x - 3 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется существованием котангенса: $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения:

$(\sqrt{2} \cos x \ctg x - 3\sqrt{2} \cos x) + (\ctg x - 3) = 0$

Вынесем общие множители за скобки:

$\sqrt{2}\cos x(\ctg x - 3) + 1(\ctg x - 3) = 0$

$(\sqrt{2}\cos x + 1)(\ctg x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1. $\ctg x - 3 = 0$
$\ctg x = 3$
$x = \text{arcctg}(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

2. $\sqrt{2}\cos x + 1 = 0$
$\sqrt{2}\cos x = -1$
$\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$x = \pm\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi m$
$x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$. Эти решения также удовлетворяют ОДЗ, так как $\sin(\pm\frac{3\pi}{4}) \neq 0$.

Ответ: $\text{arcctg}(3) + \pi n; \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.