Страница 224 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.1. Решите уравнение:

1) $ \cos x + \cos 3x = 0; $

2) $ \sin 5x - \sin x = 0; $

3) $ 2\sin x \cos 2x - \sin x + 2\cos 2x - 1 = 0; $

4) $ 2\sin x \operatorname{tg} x + 2\sqrt{3} \sin x - \operatorname{tg} x - \sqrt{3} = 0. $

1) Исходное уравнение: $ \cos x + \cos 3x = 0 $.
Для решения используем формулу суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Применим эту формулу к нашему уравнению: $ 2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 0 $
$ 2\cos(2x)\cos(x) = 0 $
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:
1) $ \cos x = 0 $
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
2) $ \cos 2x = 0 $
$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.
Объединяя эти две серии решений, получаем окончательный ответ.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

2) Исходное уравнение: $ \sin 5x - \sin x = 0 $.
Воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2} $.
Преобразуем уравнение: $ 2\sin\frac{5x-x}{2}\cos\frac{5x+x}{2} = 0 $
$ 2\sin(2x)\cos(3x) = 0 $
Это уравнение распадается на два:
1) $ \sin 2x = 0 $
$ 2x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.
2) $ \cos 3x = 0 $
$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.
Общим решением является объединение этих двух множеств.
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.

3) Исходное уравнение: $ 2\sin x \cos 2x - \sin x + 2\cos 2x - 1 = 0 $.
Решим это уравнение методом группировки слагаемых: $ (2\sin x \cos 2x - \sin x) + (2\cos 2x - 1) = 0 $
Вынесем общие множители за скобки: $ \sin x (2\cos 2x - 1) + 1 \cdot (2\cos 2x - 1) = 0 $
$ (\sin x + 1)(2\cos 2x - 1) = 0 $
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $ \sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -1 $
$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
2) $ 2\cos 2x - 1 = 0 \implies \cos 2x = \frac{1}{2} $
$ 2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
$ x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

4) Исходное уравнение: $ 2\sin x \operatorname{tg} x + 2\sqrt{3} \sin x - \operatorname{tg} x - \sqrt{3} = 0 $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования тангенса: $ \cos x \neq 0 $, то есть $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители: $ (2\sin x \operatorname{tg} x + 2\sqrt{3} \sin x) - (\operatorname{tg} x + \sqrt{3}) = 0 $
$ 2\sin x (\operatorname{tg} x + \sqrt{3}) - 1 \cdot (\operatorname{tg} x + \sqrt{3}) = 0 $
$ (2\sin x - 1)(\operatorname{tg} x + \sqrt{3}) = 0 $
Получаем два случая:
1) $ 2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} $
$ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Эти решения удовлетворяют ОДЗ, так как косинус в этих точках не равен нулю.
2) $ \operatorname{tg} x + \sqrt{3} = 0 \implies \operatorname{tg} x = -\sqrt{3} $
$ x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Эти решения также удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

31.2. Решите уравнение:

1) $ \sin 7x + \sin x = 0 $;

2) $ \cos 9x - \cos x = 0 $;

3) $ \tg^3 x + \tg^2 x - 2\tg x - 2 = 0 $;

4) $ \sqrt{2} \cos x \ctg x - 3\sqrt{2} \cos x + \ctg x - 3 = 0 $.

1) $\sin 7x + \sin x = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Применим ее к нашему уравнению:

$2 \sin\frac{7x+x}{2} \cos\frac{7x-x}{2} = 0$

$2 \sin 4x \cos 3x = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $\sin 4x = 0$
$4x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$

2. $\cos 3x = 0$
$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Объединяем решения.
Ответ: $\frac{\pi k}{4}; \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos 9x - \cos x = 0$

Воспользуемся формулой разности косинусов: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Применим ее к уравнению:

$-2 \sin\frac{9x+x}{2} \sin\frac{9x-x}{2} = 0$

$-2 \sin 5x \sin 4x = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $\sin 5x = 0$
$5x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$

2. $\sin 4x = 0$
$4x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$

Объединяем полученные серии решений.
Ответ: $\frac{\pi k}{5}; \frac{\pi n}{4}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\tg^3 x + \tg^2 x - 2\tg x - 2 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = \tg x$. Уравнение примет вид:

$t^3 + t^2 - 2t - 2 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(t^3 + t^2) - (2t + 2) = 0$

$t^2(t+1) - 2(t+1) = 0$

$(t^2 - 2)(t+1) = 0$

Получаем два случая:

1. $t+1 = 0 \Rightarrow t = -1$
2. $t^2-2 = 0 \Rightarrow t^2 = 2 \Rightarrow t = \pm\sqrt{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

1. $\tg x = -1$
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. $\tg x = \sqrt{2}$
$x = \arctan(\sqrt{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

3. $\tg x = -\sqrt{2}$
$x = -\arctan(\sqrt{2}) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Последние два решения можно объединить в одну запись.
Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi k; \pm\arctan(\sqrt{2}) + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\sqrt{2} \cos x \ctg x - 3\sqrt{2} \cos x + \ctg x - 3 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется существованием котангенса: $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения:

$(\sqrt{2} \cos x \ctg x - 3\sqrt{2} \cos x) + (\ctg x - 3) = 0$

Вынесем общие множители за скобки:

$\sqrt{2}\cos x(\ctg x - 3) + 1(\ctg x - 3) = 0$

$(\sqrt{2}\cos x + 1)(\ctg x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1. $\ctg x - 3 = 0$
$\ctg x = 3$
$x = \text{arcctg}(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

2. $\sqrt{2}\cos x + 1 = 0$
$\sqrt{2}\cos x = -1$
$\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$x = \pm\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi m$
$x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$. Эти решения также удовлетворяют ОДЗ, так как $\sin(\pm\frac{3\pi}{4}) \neq 0$.

Ответ: $\text{arcctg}(3) + \pi n; \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

31.3. Решите уравнение:

1) $\cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 0;$

2) $\sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = 0;$

3) $\sin 5x = \cos 4x;$

4) $\sin 10x - \cos 2x = 0.$

1) Исходное уравнение: $cos(\frac{\pi}{4} + x) + cos(\frac{\pi}{4} - x) = 0$.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой суммы косинусов: $cos\alpha + cos\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

В данном случае пусть $\alpha = \frac{\pi}{4} + x$ и $\beta = \frac{\pi}{4} - x$.

Найдем полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} + x) + (\frac{\pi}{4} - x)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} + x) - (\frac{\pi}{4} - x)}{2} = \frac{2x}{2} = x$.

Теперь подставим полученные выражения в формулу суммы косинусов:

$2cos\frac{\pi}{4}cos(x) = 0$.

Мы знаем, что значение косинуса $\frac{\pi}{4}$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в уравнение:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot cos(x) = 0$

$\sqrt{2}cos(x) = 0$.

Поскольку $\sqrt{2} \neq 0$, для выполнения равенства необходимо, чтобы $cos(x) = 0$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение, решением которого является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $sin(\frac{\pi}{6} + x) - sin(\frac{\pi}{6} - x) = 0$.

Для решения применим формулу разности синусов: $sin\alpha - sin\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Здесь $\alpha = \frac{\pi}{6} + x$ и $\beta = \frac{\pi}{6} - x$.

Вычислим полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{(\frac{\pi}{6} + x) + (\frac{\pi}{6} - x)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{(\frac{\pi}{6} + x) - (\frac{\pi}{6} - x)}{2} = \frac{2x}{2} = x$.

Подставим эти значения в формулу разности синусов:

$2cos\frac{\pi}{6}sin(x) = 0$.

Значение $cos\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставляем его в уравнение:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot sin(x) = 0$

$\sqrt{3}sin(x) = 0$.

Так как $\sqrt{3} \neq 0$, то должно выполняться равенство $sin(x) = 0$.

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $sin(5x) = cos(4x)$.

Перенесем $cos(4x)$ в левую часть уравнения:

$sin(5x) - cos(4x) = 0$.

Воспользуемся формулой приведения $cos\alpha = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, чтобы привести уравнение к разности синусов.

$sin(5x) - sin(\frac{\pi}{2} - 4x) = 0$.

Теперь применим формулу разности синусов $sin\alpha - sin\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

В нашем случае $\alpha = 5x$ и $\beta = \frac{\pi}{2} - 4x$.

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{5x + (\frac{\pi}{2} - 4x)}{2} = \frac{x + \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$.

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{5x - (\frac{\pi}{2} - 4x)}{2} = \frac{9x - \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{9x}{2} - \frac{\pi}{4}$.

Уравнение принимает вид:

$2cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4})sin(\frac{9x}{2} - \frac{\pi}{4}) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

$cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) = 0$ или $sin(\frac{9x}{2} - \frac{\pi}{4}) = 0$.

Решим первое уравнение:

$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi k$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение:

$\frac{9x}{2} - \frac{\pi}{4} = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\frac{9x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k$

$9x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $sin(10x) - cos(2x) = 0$.

Перепишем уравнение в виде $sin(10x) = cos(2x)$.

Используем формулу приведения $cos\alpha = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, чтобы привести уравнение к синусам.

$sin(10x) = sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$.

Перенесем все в левую часть: $sin(10x) - sin(\frac{\pi}{2} - 2x) = 0$.

Применим формулу разности синусов $sin\alpha - sin\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Здесь $\alpha = 10x$ и $\beta = \frac{\pi}{2} - 2x$.

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{10x + (\frac{\pi}{2} - 2x)}{2} = \frac{8x + \frac{\pi}{2}}{2} = 4x + \frac{\pi}{4}$.

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{10x - (\frac{\pi}{2} - 2x)}{2} = \frac{12x - \frac{\pi}{2}}{2} = 6x - \frac{\pi}{4}$.

Уравнение преобразуется к виду:

$2cos(4x + \frac{\pi}{4})sin(6x - \frac{\pi}{4}) = 0$.

Это уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

$cos(4x + \frac{\pi}{4}) = 0$ или $sin(6x - \frac{\pi}{4}) = 0$.

Решаем первое уравнение:

$4x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$4x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi k$

$4x = \frac{\pi}{4} + \pi k$

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

Решаем второе уравнение:

$6x - \frac{\pi}{4} = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$6x = \frac{\pi}{4} + \pi k$

$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{6}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{6}, k \in \mathbb{Z}$.

31.4. Решите уравнение:

1) $\sin\left(\frac{\pi}{12} + x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 0;$

2) $\cos 5x + \sin 3x = 0.$

1) $\sin\left(\frac{\pi}{12} + x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой суммы синусов:

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{12} + x$ и $\beta = \frac{\pi}{4} - x$.

Найдем полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{(\frac{\pi}{12} + x) + (\frac{\pi}{4} - x)}{2} = \frac{\frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{4\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{(\frac{\pi}{12} + x) - (\frac{\pi}{4} - x)}{2} = \frac{\frac{\pi}{12} + x - \frac{3\pi}{12} + x}{2} = \frac{2x - \frac{2\pi}{12}}{2} = \frac{2x - \frac{\pi}{6}}{2} = x - \frac{\pi}{12}$

Подставим полученные выражения в формулу:

$2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(x - \frac{\pi}{12}\right) = 0$

Так как $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, уравнение принимает вид:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos\left(x - \frac{\pi}{12}\right) = 0$

$\cos\left(x - \frac{\pi}{12}\right) = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение имеет вид:

$x - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12} + \pi n$

$x = \frac{6\pi}{12} + \frac{\pi}{12} + \pi n$

$x = \frac{7\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{7\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos 5x + \sin 3x = 0$

Перенесем $\sin 3x$ в правую часть уравнения:

$\cos 5x = -\sin 3x$

Воспользуемся формулой приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$\cos 5x = \cos\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right)$

Равенство косинусов $\cos a = \cos b$ выполняется, если $a = \pm b + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1:

$5x = \frac{\pi}{2} + 3x + 2\pi n$

$5x - 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Случай 2:

$5x = -\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) + 2\pi k$

$5x = -\frac{\pi}{2} - 3x + 2\pi k$

$5x + 3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$8x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = -\frac{\pi}{16} + \frac{2\pi k}{8}$

$x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, получаем две серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.