Страница 220 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими уравнениями?

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная находится под знаком одной из тригонометрических функций. Это базовые уравнения, к решению которых сводятся все остальные, более сложные тригонометрические уравнения.

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения четырёх видов:

• $ \sin x = a $
• $ \cos x = a $
• $ \tan x = a $
• $ \cot x = a $

В этих уравнениях:

• $x$ — это неизвестная переменная (угол или дуга), которую нужно найти.
• $a$ — это некоторое заданное действительное число.

Для существования решений этих уравнений накладываются определённые ограничения на значение числа $a$, связанные с областью значений тригонометрических функций:

1. Для уравнений $ \sin x = a $ и $ \cos x = a $ решения существуют только в том случае, если $ |a| \le 1 $ (то есть $ -1 \le a \le 1 $). Это следует из того, что область значений функций синус и косинус — это отрезок $ [-1; 1] $. Если же $ |a| > 1 $, то такие уравнения не имеют действительных корней.
2. Для уравнений $ \tan x = a $ и $ \cot x = a $ решения существуют при любом действительном значении числа $a$. Это связано с тем, что область значений функций тангенс и котангенс — это множество всех действительных чисел, то есть $ (-\infty; +\infty) $.

Ответ: Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида $ \sin x = a $, $ \cos x = a $, $ \tan x = a $ и $ \cot x = a $, где $x$ — неизвестная переменная, а $a$ — заданное действительное число. При этом для уравнений с синусом и косинусом должно выполняться условие $ |a| \le 1 $.

2. Какие уравнения называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени? Второй степени?

Однородные тригонометрические уравнения первой степени

Однородным тригонометрическим уравнением первой степени называют уравнение вида $a \sin(x) + b \cos(x) = 0$, где $a$ и $b$ — некоторые числовые коэффициенты, причем $a \neq 0$ и $b \neq 0$.

Ключевой особенностью такого уравнения является то, что все его слагаемые имеют одинаковую (первую) степень относительно синуса и косинуса одного и того же аргумента, а свободный член равен нулю.

Для решения такого уравнения его делят почленно на $\cos(x)$. Это преобразование является равносильным, так как в данном уравнении $\cos(x)$ не может быть равен нулю. Если предположить обратное, т.е. $\cos(x) = 0$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ следует, что $\sin(x) = \pm 1$. Подставив $\cos(x) = 0$ и $\sin(x) = \pm 1$ в исходное уравнение, получим $a(\pm 1) + b \cdot 0 = 0$, откуда следует, что $a = 0$. Это противоречит начальному условию, что $a \neq 0$. Следовательно, деление на $\cos(x)$ не приводит к потере корней.

После деления на $\cos(x)$ получаем:
$a \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + b \frac{\cos(x)}{\cos(x)} = 0$
$a \tan(x) + b = 0$
Это простейшее тригонометрическое уравнение относительно тангенса, которое легко решается. Аналогично можно делить на $\sin(x)$, если $b \neq 0$.

Ответ: Уравнение вида $a \sin(x) + b \cos(x) = 0$ (где $a \neq 0, b \neq 0$) называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

Однородные тригонометрические уравнения второй степени

Однородным тригонометрическим уравнением второй степени называют уравнение вида $a \sin^2(x) + b \sin(x)\cos(x) + c \cos^2(x) = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числовые коэффициенты, и хотя бы один из них не равен нулю.

В таком уравнении сумма степеней синуса и косинуса в каждом слагаемом одинакова и равна двум. Свободный член также равен нулю.

Метод решения зависит от коэффициентов. Если коэффициент $a \neq 0$, то уравнение делят почленно на $\cos^2(x)$. По аналогии с уравнением первой степени, можно показать, что $\cos^2(x) \neq 0$. Если $\cos(x) = 0$, то $\sin^2(x) = 1$. Подставив это в исходное уравнение, получим $a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = 0$, то есть $a=0$, что противоречит условию $a \neq 0$.

После деления на $\cos^2(x)$ (при $a \neq 0$) получаем:
$a \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} + b \frac{\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)} + c \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} = 0$
$a \tan^2(x) + b \tan(x) + c = 0$
Это уравнение является квадратным относительно $\tan(x)$. Его решают с помощью замены переменной $t = \tan(x)$, получая стандартное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$.

Если $a=0$, то уравнение принимает вид $b \sin(x)\cos(x) + c \cos^2(x) = 0$. Оно решается вынесением общего множителя $\cos(x)$ за скобки: $\cos(x)(b \sin(x) + c \cos(x)) = 0$.

Также к однородным уравнениям второй степени сводятся уравнения вида $a \sin^2(x) + b \sin(x)\cos(x) + c \cos^2(x) = d$, где $d \neq 0$. Для этого правую часть представляют в виде $d = d \cdot 1 = d(\sin^2(x) + \cos^2(x))$, после чего переносят все слагаемые в левую часть и приводят подобные.

Ответ: Уравнение вида $a \sin^2(x) + b \sin(x)\cos(x) + c \cos^2(x) = 0$ называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

30.1. Решите уравнение:

1) $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0;$

2) $2\cos^2 x - 5\cos x - 3 = 0;$

3) $\sin^2 3x + 2\sin 3x - 3 = 0;$

4) $\text{tg}^2 x - 2\text{tg} x - 3 = 0;$

5) $3\text{ctg}^2 2x + \text{ctg} 2x - 4 = 0;$

6) $3\cos^2 \frac{x}{4} + 5\cos \frac{x}{4} - 2 = 0.$

1) Дано уравнение $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.
Получаем уравнение: $2t^2 + t - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$.
Вернемся к исходной переменной:
1. $\sin x = \frac{1}{2}$. Решения этого уравнения имеют вид $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\sin x = -1$. Решения этого уравнения имеют вид $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $2\cos^2 x - 5\cos x - 3 = 0$.
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.
Получаем уравнение: $2t^2 - 5t - 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$t_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Корень $t_1 = 3$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, поэтому уравнение $\cos x = 3$ не имеет решений.
Корень $t_2 = -\frac{1}{2}$ удовлетворяет условию.
Вернемся к исходной переменной: $\cos x = -\frac{1}{2}$.
Решения этого уравнения имеют вид $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $\sin^2 3x + 2\sin 3x - 3 = 0$.
Сделаем замену $t = \sin 3x$, где $|t| \le 1$.
Получаем уравнение: $t^2 + 2t - 3 = 0$.
По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -3$.
Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, поэтому уравнение $\sin 3x = -3$ не имеет решений.
Корень $t_1 = 1$ удовлетворяет условию.
Вернемся к исходной переменной: $\sin 3x = 1$.
Это частный случай, решения которого: $3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 3: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $\operatorname{tg}^2 x - 2\operatorname{tg} x - 3 = 0$.
Сделаем замену $t = \operatorname{tg} x$.
Получаем уравнение: $t^2 - 2t - 3 = 0$.
По теореме Виета находим корни: $t_1 = 3$, $t_2 = -1$.
Вернемся к исходной переменной:
1. $\operatorname{tg} x = 3$. Решения: $x = \operatorname{arctg}(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\operatorname{tg} x = -1$. Решения: $x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \operatorname{arctg}(3) + \pi n$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

5) Дано уравнение $3\operatorname{ctg}^2 2x + \operatorname{ctg} 2x - 4 = 0$.
Сделаем замену $t = \operatorname{ctg} 2x$.
Получаем уравнение: $3t^2 + t - 4 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 7}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$.
Вернемся к исходной переменной:
1. $\operatorname{ctg} 2x = 1$. Отсюда $2x = \operatorname{arcctg}(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$. Тогда $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\operatorname{ctg} 2x = -\frac{4}{3}$. Отсюда $2x = \operatorname{arcctg}(-\frac{4}{3}) + \pi k$. Тогда $x = \frac{1}{2}\operatorname{arcctg}(-\frac{4}{3}) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, $x = \frac{1}{2}\operatorname{arcctg}(-\frac{4}{3}) + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

6) Дано уравнение $3\cos^2 \frac{x}{4} + 5\cos \frac{x}{4} - 2 = 0$.
Сделаем замену $t = \cos \frac{x}{4}$, где $|t| \le 1$.
Получаем уравнение: $3t^2 + 5t - 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$t_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, поэтому уравнение $\cos \frac{x}{4} = -2$ не имеет решений.
Корень $t_1 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию.
Вернемся к исходной переменной: $\cos \frac{x}{4} = \frac{1}{3}$.
Решения этого уравнения: $\frac{x}{4} = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Умножим обе части на 4: $x = \pm 4\arccos(\frac{1}{3}) + 8\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm 4\arccos(\frac{1}{3}) + 8\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

30.2. Решите уравнение:

1) $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0;$

2) $2\cos^2 2x - \cos 2x - 1 = 0;$

3) $4\tan^2 x - \tan x - 3 = 0;$

4) $3\cot^2 \frac{x}{3} - \cot \frac{x}{3} - 2 = 0.$

1) $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\sin x$. Введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$, при этом необходимо учесть, что область значений синуса $[-1, 1]$, поэтому $|t| \le 1$.

После замены уравнение принимает вид:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба найденных значения $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac{1}{2}$ удовлетворяют условию $|t| \le 1$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня:

a) $\sin x = 1$

Это частный случай, решением которого является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x = \frac{1}{2}$

Общая формула для решения этого уравнения:

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\cos^2 2x - \cos 2x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos 2x$. Сделаем замену. Пусть $t = \cos 2x$, где $|t| \le 1$.

Уравнение преобразуется к виду:

$2t^2 - t - 1 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Оба корня $t_1=1$ и $t_2=-\frac{1}{2}$ входят в допустимый диапазон $[-1, 1]$.

Выполняем обратную замену:

a) $\cos 2x = 1$

$2x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

б) $\cos 2x = -\frac{1}{2}$

$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm (\pi - \arccos(\frac{1}{2})) + 2\pi n = \pm (\pi - \frac{\pi}{3}) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Можно объединить полученные серии решений. Решения $x=\pi k$ и $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$ на единичной окружности представляют собой точки $0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$. Эти точки расположены с шагом $\frac{\pi}{3}$. Таким образом, все решения можно записать одной формулой:

$x = \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

3) $4\operatorname{tg}^2 x - \operatorname{tg} x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\operatorname{tg} x$. Пусть $t = \operatorname{tg} x$. Область значений тангенса — все действительные числа, поэтому на $t$ нет ограничений. Область определения тангенса $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение в новых переменных:

$4t^2 - t - 3 = 0$

Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$.

Корни:

$t_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{8} = \frac{1 + 7}{8} = 1$

$t_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{8} = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$

Выполняем обратную замену:

a) $\operatorname{tg} x = 1$

$x = \operatorname{arctg}(1) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

б) $\operatorname{tg} x = -\frac{3}{4}$

$x = \operatorname{arctg}(-\frac{3}{4}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = -\operatorname{arctg}(\frac{3}{4}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Найденные решения не совпадают с ограничениями области определения тангенса.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\operatorname{arctg}(\frac{3}{4}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $3\operatorname{ctg}^2 \frac{x}{3} - \operatorname{ctg} \frac{x}{3} - 2 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\operatorname{ctg} \frac{x}{3}$. Введем замену $t = \operatorname{ctg} \frac{x}{3}$. На $t$ ограничений нет. Область определения котангенса: $\frac{x}{3} \neq \pi k$, т.е. $x \neq 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение принимает вид:

$3t^2 - t - 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

Корни:

$t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{6} = \frac{1 + 5}{6} = 1$

$t_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{6} = \frac{1 - 5}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

Выполним обратную замену:

a) $\operatorname{ctg} \frac{x}{3} = 1$

$\frac{x}{3} = \operatorname{arcctg}(1) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$

б) $\operatorname{ctg} \frac{x}{3} = -\frac{2}{3}$

$\frac{x}{3} = \operatorname{arcctg}(-\frac{2}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = 3\operatorname{arcctg}(-\frac{2}{3}) + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Решения не попадают в точки, исключенные из области определения.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = 3\operatorname{arcctg}(-\frac{2}{3}) + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

30.3. Решите уравнение:

1) $ \sin x - \cos x = 0; $

2) $ \sqrt{3} \sin x + \cos x = 0; $

3) $ 3 \sin x = 2 \cos x; $

4) $ 4 \cos 2x - \sin 2x = 0; $

5) $ \sin \frac{x}{3} + 5 \cos \frac{x}{3} = 0; $

6) $ \sin^2 x - 5 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 0; $

7) $ \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 0; $

8) $ 3 \sin^2 x - 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x = 0. $

1) $ \sin x - \cos x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем $ \cos x $ в правую часть:

$ \sin x = \cos x $

Заметим, что $ \cos x \neq 0 $, так как если $ \cos x = 0 $, то из уравнения следует, что и $ \sin x = 0 $, что невозможно, поскольку $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos x $:

$ \frac{\sin x}{\cos x} = 1 $

$ \tan x = 1 $

Решением этого уравнения является:

$ x = \arctan(1) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sqrt{3} \sin x + \cos x = 0 $

Это также однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем $ \cos x $ в правую часть:

$ \sqrt{3} \sin x = - \cos x $

Аналогично предыдущему пункту, $ \cos x \neq 0 $. Разделим обе части на $ \cos x $:

$ \sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} = -1 $

$ \sqrt{3} \tan x = -1 $

$ \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} $

Решением этого уравнения является:

$ x = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = -\frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

3) $ 3 \sin x = 2 \cos x $

Это однородное уравнение первой степени. Убедившись, что $ \cos x \neq 0 $, разделим обе части на $ \cos x $:

$ 3 \frac{\sin x}{\cos x} = 2 $

$ 3 \tan x = 2 $

$ \tan x = \frac{2}{3} $

Решением этого уравнения является:

$ x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

4) $ 4 \cos 2x - \sin 2x = 0 $

Это однородное уравнение первой степени относительно аргумента $ 2x $.

$ 4 \cos 2x = \sin 2x $

Убедившись, что $ \cos 2x \neq 0 $, разделим обе части на $ \cos 2x $:

$ 4 = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} $

$ \tan 2x = 4 $

Тогда $ 2x = \arctan(4) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Разделим на 2, чтобы найти $ x $:

$ x = \frac{1}{2} \arctan(4) + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{1}{2} \arctan(4) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

5) $ \sin \frac{x}{3} + 5 \cos \frac{x}{3} = 0 $

Это однородное уравнение первой степени относительно аргумента $ \frac{x}{3} $.

$ \sin \frac{x}{3} = -5 \cos \frac{x}{3} $

Убедившись, что $ \cos \frac{x}{3} \neq 0 $, разделим обе части на $ \cos \frac{x}{3} $:

$ \frac{\sin \frac{x}{3}}{\cos \frac{x}{3}} = -5 $

$ \tan \frac{x}{3} = -5 $

Тогда $ \frac{x}{3} = \arctan(-5) + \pi n = -\arctan(5) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Умножим на 3, чтобы найти $ x $:

$ x = -3 \arctan(5) + 3\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -3 \arctan(5) + 3\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

6) $ \sin^2 x - 5 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим случай, когда $ \cos x = 0 $. Если $ \cos x = 0 $, то уравнение принимает вид $ \sin^2 x = 0 $, откуда $ \sin x = 0 $. Но $ \sin x $ и $ \cos x $ не могут быть равны нулю одновременно. Значит, $ \cos x \neq 0 $. Разделим обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 5 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 4 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

$ \tan^2 x - 5 \tan x + 4 = 0 $

Сделаем замену $ t = \tan x $. Получим квадратное уравнение:

$ t^2 - 5t + 4 = 0 $

По теореме Виета, корни уравнения $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = 4 $.

Возвращаемся к замене:

1. $ \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \tan x = 4 \implies x = \arctan(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}; \quad \arctan(4) + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} $.

7) $ \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 0 $

Это однородное уравнение второй степени относительно аргумента $ \frac{x}{2} $. Убедившись, что $ \cos \frac{x}{2} \neq 0 $, разделим обе части уравнения на $ \cos^2 \frac{x}{2} $:

$ \tan^2 \frac{x}{2} - 3 \tan \frac{x}{2} + 2 = 0 $

Сделаем замену $ t = \tan \frac{x}{2} $. Получим квадратное уравнение:

$ t^2 - 3t + 2 = 0 $

По теореме Виета, корни уравнения $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = 2 $.

Возвращаемся к замене:

1. $ \tan \frac{x}{2} = 1 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \tan \frac{x}{2} = 2 \implies \frac{x}{2} = \arctan(2) + \pi k \implies x = 2 \arctan(2) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}; \quad 2 \arctan(2) + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z} $.

8) $ 3 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x = 0 $

Это однородное уравнение второй степени. Убедившись, что $ \cos x \neq 0 $, разделим обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ 3 \tan^2 x - 2\sqrt{3} \tan x + 1 = 0 $

Левая часть является полным квадратом разности $ (\sqrt{3} \tan x - 1)^2 $:

$ (\sqrt{3} \tan x - 1)^2 = 0 $

Отсюда $ \sqrt{3} \tan x - 1 = 0 \implies \sqrt{3} \tan x = 1 \implies \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} $.

Решением этого уравнения является:

$ x = \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

30.4. Решите уравнение:

1) $ \sin x + \cos x = 0; $

2) $ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 0; $

3) $ 2\sin x + \cos x = 0; $

4) $ \cos 4x - 3\sin 4x = 0; $

5) $ \sin^2 x - 5\sin x \cos x + 6\cos^2 x = 0; $

6) $ 4\sin^2 x = 3\sin x \cos x + \cos^2 x. $

1) Данное уравнение $\sin x + \cos x = 0$ является однородным тригонометрическим уравнением первого порядка.
Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением уравнения. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. В этом случае $\sin x = \pm 1$. Подставим в исходное уравнение: $\pm 1 + 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$.
Разделим обе части уравнения на $\cos x$:
$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$
$\tan x + 1 = 0$
$\tan x = -1$
$x = \arctan(-1) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$. Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка.
Аналогично предыдущему пункту, убедимся, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Уравнение принимает вид $\pm 1 - 0 = 0$, что неверно. Значит, можно разделить обе части уравнения на $\cos x$:
$\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sqrt{3} \cos x}{\cos x} = 0$
$\tan x - \sqrt{3} = 0$
$\tan x = \sqrt{3}$
$x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $2\sin x + \cos x = 0$. Это также однородное тригонометрическое уравнение первого порядка.
Если предположить, что $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Уравнение примет вид $2(\pm 1) + 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить на него обе части уравнения:
$\frac{2\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$
$2\tan x + 1 = 0$
$2\tan x = -1$
$\tan x = -\frac{1}{2}$
$x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $\cos 4x - 3\sin 4x = 0$. Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка с аргументом $4x$.
Проверим, может ли $\cos 4x = 0$. Если $\cos 4x = 0$, то $\sin 4x = \pm 1$. Уравнение примет вид $0 - 3(\pm 1) = 0$, что неверно. Значит, $\cos 4x \neq 0$. Разделим обе части на $\cos 4x$:
$\frac{\cos 4x}{\cos 4x} - \frac{3\sin 4x}{\cos 4x} = 0$
$1 - 3\tan 4x = 0$
$3\tan 4x = 1$
$\tan 4x = \frac{1}{3}$
$4x = \arctan(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{1}{4}\arctan(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{1}{4}\arctan(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

5) Дано уравнение $\sin^2 x - 5\sin x \cos x + 6\cos^2 x = 0$. Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка.
Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Уравнение примет вид $1 - 5( \pm 1)(0) + 6(0) = 0$, или $1 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$:
$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{5\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{6\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$\tan^2 x - 5\tan x + 6 = 0$
Сделаем замену $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение:
$t^2 - 5t + 6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.
Вернемся к замене:
1) $\tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $\tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6) Дано уравнение $4\sin^2 x = 3\sin x \cos x + \cos^2 x$. Перенесем все члены в левую часть:
$4\sin^2 x - 3\sin x \cos x - \cos^2 x = 0$
Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим случай $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Уравнение примет вид $4(1) - 0 - 0 = 0$, или $4 = 0$, что неверно. Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части на $\cos^2 x$:
$\frac{4\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{3\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$4\tan^2 x - 3\tan x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение:
$4t^2 - 3t - 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4(4)(-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Найдем корни:
$t_1 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$
$t_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$
Вернемся к замене:
1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $\tan x = -\frac{1}{4} \implies x = \arctan(-\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = -\arctan(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.