Номер 30.4, страница 220 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.4. Решите уравнение:

1) $ \sin x + \cos x = 0; $

2) $ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 0; $

3) $ 2\sin x + \cos x = 0; $

4) $ \cos 4x - 3\sin 4x = 0; $

5) $ \sin^2 x - 5\sin x \cos x + 6\cos^2 x = 0; $

6) $ 4\sin^2 x = 3\sin x \cos x + \cos^2 x. $

1) Данное уравнение $\sin x + \cos x = 0$ является однородным тригонометрическим уравнением первого порядка.
Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением уравнения. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. В этом случае $\sin x = \pm 1$. Подставим в исходное уравнение: $\pm 1 + 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$.
Разделим обе части уравнения на $\cos x$:
$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$
$\tan x + 1 = 0$
$\tan x = -1$
$x = \arctan(-1) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$. Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка.
Аналогично предыдущему пункту, убедимся, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Уравнение принимает вид $\pm 1 - 0 = 0$, что неверно. Значит, можно разделить обе части уравнения на $\cos x$:
$\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sqrt{3} \cos x}{\cos x} = 0$
$\tan x - \sqrt{3} = 0$
$\tan x = \sqrt{3}$
$x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $2\sin x + \cos x = 0$. Это также однородное тригонометрическое уравнение первого порядка.
Если предположить, что $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Уравнение примет вид $2(\pm 1) + 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить на него обе части уравнения:
$\frac{2\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$
$2\tan x + 1 = 0$
$2\tan x = -1$
$\tan x = -\frac{1}{2}$
$x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $\cos 4x - 3\sin 4x = 0$. Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка с аргументом $4x$.
Проверим, может ли $\cos 4x = 0$. Если $\cos 4x = 0$, то $\sin 4x = \pm 1$. Уравнение примет вид $0 - 3(\pm 1) = 0$, что неверно. Значит, $\cos 4x \neq 0$. Разделим обе части на $\cos 4x$:
$\frac{\cos 4x}{\cos 4x} - \frac{3\sin 4x}{\cos 4x} = 0$
$1 - 3\tan 4x = 0$
$3\tan 4x = 1$
$\tan 4x = \frac{1}{3}$
$4x = \arctan(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{1}{4}\arctan(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{1}{4}\arctan(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

5) Дано уравнение $\sin^2 x - 5\sin x \cos x + 6\cos^2 x = 0$. Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка.
Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Уравнение примет вид $1 - 5( \pm 1)(0) + 6(0) = 0$, или $1 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$:
$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{5\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{6\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$\tan^2 x - 5\tan x + 6 = 0$
Сделаем замену $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение:
$t^2 - 5t + 6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.
Вернемся к замене:
1) $\tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $\tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6) Дано уравнение $4\sin^2 x = 3\sin x \cos x + \cos^2 x$. Перенесем все члены в левую часть:
$4\sin^2 x - 3\sin x \cos x - \cos^2 x = 0$
Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим случай $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Уравнение примет вид $4(1) - 0 - 0 = 0$, или $4 = 0$, что неверно. Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части на $\cos^2 x$:
$\frac{4\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{3\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$4\tan^2 x - 3\tan x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение:
$4t^2 - 3t - 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4(4)(-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Найдем корни:
$t_1 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$
$t_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$
Вернемся к замене:
1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $\tan x = -\frac{1}{4} \implies x = \arctan(-\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = -\arctan(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.