Номер 30.5, страница 221 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.5. Решите уравнение:

1) $6 \cos^2 x + 5 \sin x - 7 = 0;$

2) $2 \sin^2 x + 7 \cos x + 2 = 0;$

3) $\cos 2x = 1 + 4 \cos x;$

4) $2 \cos x - \cos 2x - \cos^2 x = 0;$

5) $\cos 2x + \sin x = 0;$

6) $\cos \frac{2x}{3} - 5 \cos \frac{x}{3} - 2 = 0;$

7) $\cos 2x - \cos^2 x - \sqrt{2} \sin x = 0;$

8) $\cos \frac{x}{2} + \cos x = 0;$

9) $\tan x + \cot x = -2;$

10) $8 \sin^2 3x + 4 \sin^2 6x = 5;$

11) $4 \tan 5x + 3 \cot 5x = 7;$

12) $\frac{1}{\sin^2 x} = \cot x + 3;$

13) $2 \tan^2 x + 4 \cos^2 x = 7;$

14) $\cos 2x - 4 \sqrt{2} \cos x + 4 = 0.$

1) $6\cos^2x + 5\sin x - 7 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2x = 1 - \sin^2x$, чтобы привести уравнение к одной функции:

$6(1 - \sin^2x) + 5\sin x - 7 = 0$

$6 - 6\sin^2x + 5\sin x - 7 = 0$

$-6\sin^2x + 5\sin x - 1 = 0$

$6\sin^2x - 5\sin x + 1 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. Уравнение принимает вид:

$6t^2 - 5t + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 1}{12}$.

$t_1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$; $t_2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Возвращаемся к замене:

1. $\sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin x = \frac{1}{3} \implies x = (-1)^k \arcsin\frac{1}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad x = (-1)^k \arcsin\frac{1}{3} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin^2x + 7\cos x + 2 = 0$

Используем тождество $\sin^2x = 1 - \cos^2x$:

$2(1 - \cos^2x) + 7\cos x + 2 = 0$

$2 - 2\cos^2x + 7\cos x + 2 = 0$

$-2\cos^2x + 7\cos x + 4 = 0$

$2\cos^2x - 7\cos x - 4 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - 7t - 4 = 0$

Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{7 \pm 9}{4}$.

$t_1 = \frac{16}{4} = 4$; $t_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Корень $t_1 = 4$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

Возвращаемся к замене с $t_2 = -\frac{1}{2}$:

$\cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos 2x = 1 + 4\cos x$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2x - 1$:

$2\cos^2x - 1 = 1 + 4\cos x$

$2\cos^2x - 4\cos x - 2 = 0$

$\cos^2x - 2\cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$t^2 - 2t - 1 = 0$

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

$t_1 = 1 + \sqrt{2} \approx 2.414$; $t_2 = 1 - \sqrt{2} \approx -0.414$.

Корень $t_1 = 1 + \sqrt{2}$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

Возвращаемся к замене с $t_2 = 1 - \sqrt{2}$:

$\cos x = 1 - \sqrt{2} \implies x = \pm \arccos(1 - \sqrt{2}) + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos(1 - \sqrt{2}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

4) $2\cos x - \cos 2x - \cos^2 x = 0$

Используем формулу $\cos 2x = 2\cos^2x - 1$:

$2\cos x - (2\cos^2x - 1) - \cos^2 x = 0$

$2\cos x - 2\cos^2x + 1 - \cos^2 x = 0$

$-3\cos^2x + 2\cos x + 1 = 0$

$3\cos^2x - 2\cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$3t^2 - 2t - 1 = 0$

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{2 \pm 4}{6}$.

$t_1 = \frac{6}{6} = 1$; $t_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Оба корня удовлетворяют условию. Возвращаемся к замене:

1. $\cos x = 1 \implies x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x = -\frac{1}{3} \implies x = \pm \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, \quad x = \pm \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

5) $\cos 2x + \sin x = 0$

Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2\sin^2x$:

$1 - 2\sin^2x + \sin x = 0$

$2\sin^2x - \sin x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - t - 1 = 0$

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$.

$t_1 = \frac{4}{4} = 1$; $t_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Оба корня удовлетворяют условию. Возвращаемся к замене:

1. $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin x = -\frac{1}{2} \implies x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

6) $\cos \frac{2x}{3} - 5\cos \frac{x}{3} - 2 = 0$

Пусть $y = \frac{x}{3}$. Уравнение примет вид $\cos(2y) - 5\cos y - 2 = 0$.

Используем формулу $\cos(2y) = 2\cos^2y - 1$:

$2\cos^2y - 1 - 5\cos y - 2 = 0$

$2\cos^2y - 5\cos y - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \cos y$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - 5t - 3 = 0$

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}$.

$t_1 = \frac{12}{4} = 3$; $t_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Корень $t_1=3$ не подходит. Возвращаемся к замене с $t_2 = -\frac{1}{2}$:

$\cos y = -\frac{1}{2} \implies y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Делаем обратную подстановку $y = \frac{x}{3}$:

$\frac{x}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm 2\pi + 6\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm 2\pi + 6\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

7) $\cos 2x - \cos^2 x - \sqrt{2} \sin x = 0$

Используем формулы $\cos 2x = 1 - 2\sin^2x$ и $\cos^2 x = 1 - \sin^2x$:

$(1 - 2\sin^2x) - (1 - \sin^2x) - \sqrt{2} \sin x = 0$

$1 - 2\sin^2x - 1 + \sin^2x - \sqrt{2} \sin x = 0$

$-\sin^2x - \sqrt{2} \sin x = 0$

$\sin^2x + \sqrt{2} \sin x = 0$

Выносим $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x + \sqrt{2}) = 0$

Получаем два уравнения:

1. $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin x + \sqrt{2} = 0 \implies \sin x = -\sqrt{2}$. Так как $|\sin x| \le 1$, а $-\sqrt{2} < -1$, это уравнение решений не имеет.

Ответ: $x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

8) $\cos \frac{x}{2} + \cos x = 0$

Используем формулу $\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$:

$\cos \frac{x}{2} + 2\cos^2\frac{x}{2} - 1 = 0$

$2\cos^2\frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos \frac{x}{2}$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 + t - 1 = 0$

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$.

$t_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $t_2 = \frac{-4}{4} = -1$.

Оба корня подходят. Возвращаемся к замене:

1. $\cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \implies \frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos \frac{x}{2} = -1 \implies \frac{x}{2} = \pi + 2\pi k \implies x = 2\pi + 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, \quad x = 2\pi + 4\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

9) $\tg x + \ctg x = -2$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Используем тождество $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$:

$\tg x + \frac{1}{\tg x} = -2$

Сделаем замену $t = \tg x$ ($t \ne 0$):

$t + \frac{1}{t} = -2$

Домножим на $t$: $t^2 + 1 = -2t$.

$t^2 + 2t + 1 = 0$

$(t+1)^2 = 0 \implies t = -1$.

Возвращаемся к замене: $\tg x = -1$.

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

10) $8\sin^2 3x + 4\sin^2 6x = 5$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 6x = 2\sin 3x \cos 3x$. Тогда $\sin^2 6x = 4\sin^2 3x \cos^2 3x$.

Подставим в уравнение: $8\sin^2 3x + 4(4\sin^2 3x \cos^2 3x) = 5$.

$8\sin^2 3x + 16\sin^2 3x (1 - \sin^2 3x) = 5$.

Сделаем замену $t = \sin^2 3x$, где $0 \le t \le 1$.

$8t + 16t(1-t) = 5$

$8t + 16t - 16t^2 = 5$

$16t^2 - 24t + 5 = 0$

Дискриминант $D = (-24)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 5 = 576 - 320 = 256$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{24 \pm \sqrt{256}}{32} = \frac{24 \pm 16}{32}$.

$t_1 = \frac{40}{32} = \frac{5}{4}$; $t_2 = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.

Корень $t_1 > 1$ не подходит. Остается $t_2 = \frac{1}{4}$.

Возвращаемся к замене: $\sin^2 3x = \frac{1}{4}$.

Используем формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1-\cos(6x)}{2} = \frac{1}{4} \implies 1-\cos(6x) = \frac{1}{2} \implies \cos(6x) = \frac{1}{2}$.

$6x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

11) $4\tg 5x + 3\ctg 5x = 7$

ОДЗ: $5x \ne \frac{\pi n}{2} \implies x \ne \frac{\pi n}{10}$.

Заменим $\ctg 5x = \frac{1}{\tg 5x}$ и сделаем подстановку $t = \tg 5x$ ($t \ne 0$).

$4t + \frac{3}{t} = 7$

$4t^2 - 7t + 3 = 0$

Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{7 \pm 1}{8}$.

$t_1 = 1$; $t_2 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Возвращаемся к замене:

1. $\tg 5x = 1 \implies 5x = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\tg 5x = \frac{3}{4} \implies 5x = \arctan\frac{3}{4} + \pi k \implies x = \frac{1}{5}\arctan\frac{3}{4} + \frac{\pi k}{5}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, \quad x = \frac{1}{5}\arctan\frac{3}{4} + \frac{\pi k}{5}, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

12) $\frac{1}{\sin^2 x} = \ctg x + 3$

ОДЗ: $\sin x \ne 0 \implies x \ne \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Используем тождество $1 + \ctg^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$:

$1 + \ctg^2 x = \ctg x + 3$

$\ctg^2 x - \ctg x - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \ctg x$.

$t^2 - t - 2 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 2$, $t_2 = -1$.

Возвращаемся к замене:

1. $\ctg x = 2 \implies x = \text{arcctg}(2) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\ctg x = -1 \implies x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \text{arcctg}(2) + \pi n, \quad x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

13) $2\tg^2 x + 4\cos^2 x = 7$

ОДЗ: $\cos x \ne 0 \implies x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Используем тождество $\tg^2 x = \frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}$:

$2\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x} + 4\cos^2 x = 7$

Сделаем замену $t = \cos^2 x$, где $0 < t \le 1$.

$2\frac{1-t}{t} + 4t = 7$

$2(1-t) + 4t^2 = 7t$

$4t^2 - 9t + 2 = 0$

Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{9 \pm 7}{8}$.

$t_1 = \frac{16}{8} = 2$; $t_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Корень $t_1=2$ не подходит. Остается $t_2 = \frac{1}{4}$.

$\cos^2 x = \frac{1}{4}$. Используем формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$.

$\frac{1+\cos 2x}{2} = \frac{1}{4} \implies 1+\cos 2x = \frac{1}{2} \implies \cos 2x = -\frac{1}{2}$.

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

14) $\cos 2x - 4\sqrt{2}\cos x + 4 = 0$

Используем формулу $\cos 2x = 2\cos^2x - 1$:

$(2\cos^2x - 1) - 4\sqrt{2}\cos x + 4 = 0$

$2\cos^2x - 4\sqrt{2}\cos x + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - 4\sqrt{2}t + 3 = 0$

Дискриминант $D = (-4\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 32 - 24 = 8$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{4\sqrt{2} \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4\sqrt{2} \pm 2\sqrt{2}}{4}$.

$t_1 = \frac{6\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$; $t_2 = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Корень $t_1 = \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2.12 > 1$ не подходит.

Возвращаемся к замене с $t_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.