Номер 30.12, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.12. Найдите наименьший положительный корень уравнения $ \sin x \cos x + \cos^2 x = 0 $.

Дано тригонометрическое уравнение: $\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Для решения вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки: $\cos x (\sin x + \cos x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух уравнений:

1) $\cos x = 0$
Решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Нам нужно найти наименьший положительный корень. Переберем значения $n$:
При $n = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Это положительный корень.
При $n = 1$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$.
При $n = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$ (не является положительным).
Наименьший положительный корень из этой серии — $x = \frac{\pi}{2}$.

2) $\sin x + \cos x = 0$
Перенесем $\cos x$ в правую часть: $\sin x = -\cos x$
Заметим, что в этом уравнении $\cos x \ne 0$, так как если бы $\cos x = 0$, то и $\sin x$ должен был бы быть равен нулю, что невозможно одновременно, поскольку $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$: $\frac{\sin x}{\cos x} = -1$ $\tan x = -1$
Решениями этого уравнения являются $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем наименьший положительный корень из этой серии, перебирая значения $k$:
При $k = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$ (не является положительным).
При $k = 1$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$. Это положительный корень.
При $k = 2$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$.
Наименьший положительный корень из этой серии — $x = \frac{3\pi}{4}$.

Теперь сравним наименьшие положительные корни, полученные из обоих случаев: $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{4}$.
$\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4}$.
Так как $\frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$, то наименьшим положительным корнем исходного уравнения является $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$