Номер 30.16, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.16. Решите уравнение:

1) $3\sin x + 5\cos x = -3;$

2) $3\sqrt{3} \sin x - 5\cos x = 7.$

Для решения уравнения $3\sin x + 5\cos x = -3$, которое является линейным тригонометрическим уравнением вида $a\sin x + b\cos x = c$, воспользуемся методом универсальной тригонометрической подстановки.

Пусть $t = \tan(x/2)$. Тогда $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$. Эта подстановка справедлива для всех $x$, для которых $\tan(x/2)$ определен, то есть при $x \neq \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение: $3\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) + 5\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = -3$

Умножим обе части уравнения на $1+t^2$ (это выражение всегда больше нуля): $6t + 5(1-t^2) = -3(1+t^2)$
$6t + 5 - 5t^2 = -3 - 3t^2$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $0 = 5t^2 - 3t^2 - 6t - 3 - 5$
$2t^2 - 6t - 8 = 0$
Разделим обе части на 2: $t^2 - 3t - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Следовательно, корни уравнения: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1. При $t = 4$:
$\tan(x/2) = 4$
$x/2 = \arctan 4 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = 2\arctan 4 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. При $t = -1$:
$\tan(x/2) = -1$
$x/2 = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Необходимо проверить, не являются ли решениями значения $x = \pi + 2\pi k$, которые были исключены при подстановке. Подставим $x = \pi$ в исходное уравнение: $3\sin\pi + 5\cos\pi = 3 \cdot 0 + 5 \cdot (-1) = -5$.
Так как $-5 \neq -3$, эти значения не являются корнями уравнения.

Ответ: $2\arctan 4 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решим уравнение $3\sqrt{3}\sin x - 5\cos x = 7$ также с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

Пусть $t = \tan(x/2)$, тогда $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ (при $x \neq \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$).

Подставим выражения в уравнение: $3\sqrt{3}\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) - 5\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = 7$

Умножим обе части на $1+t^2$: $6\sqrt{3}t - 5(1-t^2) = 7(1+t^2)$
$6\sqrt{3}t - 5 + 5t^2 = 7 + 7t^2$
$2t^2 - 6\sqrt{3}t + 12 = 0$
Разделим уравнение на 2: $t^2 - 3\sqrt{3}t + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-3\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 27 - 24 = 3$.
Корни уравнения: $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3\sqrt{3} \pm \sqrt{3}}{2}$.
$t_1 = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
$t_2 = \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.

Вернемся к переменной $x$:

1. При $t = \sqrt{3}$:
$\tan(x/2) = \sqrt{3}$
$x/2 = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. При $t = 2\sqrt{3}$:
$\tan(x/2) = 2\sqrt{3}$
$x/2 = \arctan(2\sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = 2\arctan(2\sqrt{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Проверим исключенные значения $x = \pi + 2\pi k$. Подставим $x = \pi$ в исходное уравнение: $3\sqrt{3}\sin\pi - 5\cos\pi = 3\sqrt{3} \cdot 0 - 5 \cdot (-1) = 5$.
Так как $5 \neq 7$, значения $x = \pi + 2\pi k$ не являются решениями.

Ответ: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $2\arctan(2\sqrt{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.