Номер 30.10, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.10. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $ \sin^2 x + 0,5 \sin 2x = 1 $.

Для решения данного уравнения выполним следующие преобразования.

Исходное уравнение:

$\sin^2 x + 0,5\sin 2x = 1$

Преобразование уравнения

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$\sin^2 x + 0,5(2\sin x \cos x) = 1$

$\sin^2 x + \sin x \cos x = 1$

Далее, используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$, чтобы заменить единицу в правой части уравнения:

$\sin^2 x + \sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x$

Сократим $\sin^2 x$ в обеих частях уравнения:

$\sin x \cos x = \cos^2 x$

Нахождение общих решений

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$\sin x \cos x - \cos^2 x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\sin x - \cos x) = 0$

Это уравнение распадается на два независимых уравнения, поскольку произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $\cos x = 0$

2) $\sin x - \cos x = 0$

Решим каждое уравнение отдельно.

Для первого уравнения $\cos x = 0$, решениями являются:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Для второго уравнения $\sin x - \cos x = 0$, преобразуем его к виду $\sin x = \cos x$. Заметим, что $\cos x$ не может быть равен нулю, так как в этом случае и $\sin x$ был бы равен нулю, что противоречит тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Поэтому мы можем разделить обе части на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} = 1$

$\tan x = 1$

Решениями этого уравнения являются:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Нахождение наибольшего отрицательного корня

Теперь необходимо найти самый большой (ближайший к нулю) отрицательный корень из двух полученных серий решений.

Рассмотрим первую серию корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$:

• При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$ (положительный).
• При $k = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$.
• При $k = -2$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$ (меньше, чем $-\frac{\pi}{2}$).

Наибольший отрицательный корень из этой серии — это $-\frac{\pi}{2}$.

Рассмотрим вторую серию корней $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$:

• При $n = 0$, $x = \frac{\pi}{4}$ (положительный).
• При $n = -1$, $x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$.
• При $n = -2$, $x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}$ (меньше, чем $-\frac{3\pi}{4}$).

Наибольший отрицательный корень из этой серии — это $-\frac{3\pi}{4}$.

Сравним два найденных отрицательных корня: $-\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{3\pi}{4}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 4: $-\frac{\pi}{2} = -\frac{2\pi}{4}$.

Поскольку $-2 > -3$, то $-\frac{2\pi}{4} > -\frac{3\pi}{4}$.

Следовательно, наибольший отрицательный корень уравнения — это $-\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$