Номер 30.3, страница 220 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.3. Решите уравнение:

1) $ \sin x - \cos x = 0; $

2) $ \sqrt{3} \sin x + \cos x = 0; $

3) $ 3 \sin x = 2 \cos x; $

4) $ 4 \cos 2x - \sin 2x = 0; $

5) $ \sin \frac{x}{3} + 5 \cos \frac{x}{3} = 0; $

6) $ \sin^2 x - 5 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 0; $

7) $ \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 0; $

8) $ 3 \sin^2 x - 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x = 0. $

1) $ \sin x - \cos x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем $ \cos x $ в правую часть:

$ \sin x = \cos x $

Заметим, что $ \cos x \neq 0 $, так как если $ \cos x = 0 $, то из уравнения следует, что и $ \sin x = 0 $, что невозможно, поскольку $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos x $:

$ \frac{\sin x}{\cos x} = 1 $

$ \tan x = 1 $

Решением этого уравнения является:

$ x = \arctan(1) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sqrt{3} \sin x + \cos x = 0 $

Это также однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем $ \cos x $ в правую часть:

$ \sqrt{3} \sin x = - \cos x $

Аналогично предыдущему пункту, $ \cos x \neq 0 $. Разделим обе части на $ \cos x $:

$ \sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} = -1 $

$ \sqrt{3} \tan x = -1 $

$ \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} $

Решением этого уравнения является:

$ x = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = -\frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

3) $ 3 \sin x = 2 \cos x $

Это однородное уравнение первой степени. Убедившись, что $ \cos x \neq 0 $, разделим обе части на $ \cos x $:

$ 3 \frac{\sin x}{\cos x} = 2 $

$ 3 \tan x = 2 $

$ \tan x = \frac{2}{3} $

Решением этого уравнения является:

$ x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

4) $ 4 \cos 2x - \sin 2x = 0 $

Это однородное уравнение первой степени относительно аргумента $ 2x $.

$ 4 \cos 2x = \sin 2x $

Убедившись, что $ \cos 2x \neq 0 $, разделим обе части на $ \cos 2x $:

$ 4 = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} $

$ \tan 2x = 4 $

Тогда $ 2x = \arctan(4) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Разделим на 2, чтобы найти $ x $:

$ x = \frac{1}{2} \arctan(4) + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{1}{2} \arctan(4) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

5) $ \sin \frac{x}{3} + 5 \cos \frac{x}{3} = 0 $

Это однородное уравнение первой степени относительно аргумента $ \frac{x}{3} $.

$ \sin \frac{x}{3} = -5 \cos \frac{x}{3} $

Убедившись, что $ \cos \frac{x}{3} \neq 0 $, разделим обе части на $ \cos \frac{x}{3} $:

$ \frac{\sin \frac{x}{3}}{\cos \frac{x}{3}} = -5 $

$ \tan \frac{x}{3} = -5 $

Тогда $ \frac{x}{3} = \arctan(-5) + \pi n = -\arctan(5) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Умножим на 3, чтобы найти $ x $:

$ x = -3 \arctan(5) + 3\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -3 \arctan(5) + 3\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

6) $ \sin^2 x - 5 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим случай, когда $ \cos x = 0 $. Если $ \cos x = 0 $, то уравнение принимает вид $ \sin^2 x = 0 $, откуда $ \sin x = 0 $. Но $ \sin x $ и $ \cos x $ не могут быть равны нулю одновременно. Значит, $ \cos x \neq 0 $. Разделим обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 5 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 4 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

$ \tan^2 x - 5 \tan x + 4 = 0 $

Сделаем замену $ t = \tan x $. Получим квадратное уравнение:

$ t^2 - 5t + 4 = 0 $

По теореме Виета, корни уравнения $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = 4 $.

Возвращаемся к замене:

1. $ \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \tan x = 4 \implies x = \arctan(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}; \quad \arctan(4) + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} $.

7) $ \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 0 $

Это однородное уравнение второй степени относительно аргумента $ \frac{x}{2} $. Убедившись, что $ \cos \frac{x}{2} \neq 0 $, разделим обе части уравнения на $ \cos^2 \frac{x}{2} $:

$ \tan^2 \frac{x}{2} - 3 \tan \frac{x}{2} + 2 = 0 $

Сделаем замену $ t = \tan \frac{x}{2} $. Получим квадратное уравнение:

$ t^2 - 3t + 2 = 0 $

По теореме Виета, корни уравнения $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = 2 $.

Возвращаемся к замене:

1. $ \tan \frac{x}{2} = 1 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \tan \frac{x}{2} = 2 \implies \frac{x}{2} = \arctan(2) + \pi k \implies x = 2 \arctan(2) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}; \quad 2 \arctan(2) + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z} $.

8) $ 3 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x = 0 $

Это однородное уравнение второй степени. Убедившись, что $ \cos x \neq 0 $, разделим обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ 3 \tan^2 x - 2\sqrt{3} \tan x + 1 = 0 $

Левая часть является полным квадратом разности $ (\sqrt{3} \tan x - 1)^2 $:

$ (\sqrt{3} \tan x - 1)^2 = 0 $

Отсюда $ \sqrt{3} \tan x - 1 = 0 \implies \sqrt{3} \tan x = 1 \implies \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} $.

Решением этого уравнения является:

$ x = \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.