Номер 29.14, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.14. Вычислите:

1) $ \sin\left(\arccos \frac{1}{3}\right); $

2) $ \operatorname{ctg}\left(\arccos \frac{12}{13}\right). $

1)

Пусть $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos(\alpha) = \frac{1}{3}$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $[0, \pi]$.

Нам нужно найти значение $\sin\left(\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right)$, то есть $\sin(\alpha)$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

Подставим известное значение $\cos(\alpha)$:
$\sin^2(\alpha) + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1$
$\sin^2(\alpha) + \frac{1}{9} = 1$
$\sin^2(\alpha) = 1 - \frac{1}{9}$
$\sin^2(\alpha) = \frac{8}{9}$

Отсюда $\sin(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{3} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Поскольку $\alpha \in [0, \pi]$, значение $\sin(\alpha)$ является неотрицательным ($\sin(\alpha) \ge 0$). Следовательно, мы выбираем положительный корень.

$\sin(\alpha) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Таким образом, $\sin\left(\arccos\frac{1}{3}\right) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

2)

Пусть $\alpha = \arccos\left(\frac{12}{13}\right)$. Согласно определению арккосинуса, $\cos(\alpha) = \frac{12}{13}$ и угол $\alpha$ лежит в промежутке $[0, \pi]$.

Нам нужно найти $\text{ctg}\left(\arccos\left(\frac{12}{13}\right)\right)$, то есть $\text{ctg}(\alpha)$. Мы знаем, что $\text{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$. Для этого сначала найдем $\sin(\alpha)$.

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

Подставим значение $\cos(\alpha)$:
$\sin^2(\alpha) + \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1$
$\sin^2(\alpha) + \frac{144}{169} = 1$
$\sin^2(\alpha) = 1 - \frac{144}{169}$
$\sin^2(\alpha) = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$

Следовательно, $\sin(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$.

Так как $\alpha \in [0, \pi]$, то $\sin(\alpha) \ge 0$. Поэтому $\sin(\alpha) = \frac{5}{13}$.

Теперь мы можем вычислить котангенс:
$\text{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5} = \frac{12}{5}$.

Таким образом, $\text{ctg}\left(\arccos\frac{12}{13}\right) = \frac{12}{5}$.

Ответ: $\frac{12}{5}$.