Номер 29.7, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.7. Найдите область определения функции:

1) $y = \arccos (x^2 - 10)$;

2) $y = \arcsin \frac{1}{2x}$;

3) $y = \arctan (4 - x)$;

4) $y = \arctan \frac{\pi}{x + 5}$;

5) $y = \arccot \sqrt{x + 2}$;

6) $y = \arcsin \frac{1}{x} + \arccot \sqrt{x - 1}$.

1) Область определения функции арккосинуса $y = \arccos(t)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, аргумент функции $x^2 - 10$ должен удовлетворять двойному неравенству:

$-1 \le x^2 - 10 \le 1$

Это неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 10 \ge -1 \\ x^2 - 10 \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^2 \ge 9$

$|x| \ge 3$, что означает $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 \le 11$

$|x| \le \sqrt{11}$, что означает $x \in [-\sqrt{11}, \sqrt{11}]$.

Область определения исходной функции является пересечением решений этих двух неравенств:

$((-\infty, -3] \cup [3, \infty)) \cap [-\sqrt{11}, \sqrt{11}] = [-\sqrt{11}, -3] \cup [3, \sqrt{11}]$.

Ответ: $[-\sqrt{11}, -3] \cup [3, \sqrt{11}]$.

2) Область определения функции арксинуса $y = \arcsin(t)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, аргумент функции $\frac{1}{2x}$ должен удовлетворять двойному неравенству:

$-1 \le \frac{1}{2x} \le 1$

Это неравенство также означает, что знаменатель $2x$ не может быть равен нулю, то есть $x \ne 0$.

Данное двойное неравенство эквивалентно неравенству с модулем:

$|\frac{1}{2x}| \le 1$

$\frac{1}{|2x|} \le 1$

Так как $|2x| > 0$, можно умножить обе части на $|2x|$:

$1 \le |2x|$

$|x| \ge \frac{1}{2}$

Это неравенство распадается на два: $x \ge \frac{1}{2}$ или $x \le -\frac{1}{2}$.

Таким образом, область определения функции — это объединение двух промежутков.

Ответ: $(-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2}, \infty)$.

3) Область определения функции арктангенса $y = \arctan(t)$ — все действительные числа, то есть $t \in \mathbb{R}$.

Аргумент функции, выражение $4 - x$, определен для любого действительного значения $x$.

Следовательно, область определения данной функции — все действительные числа.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

4) Область определения функции арктангенса $y = \arctan(t)$ — все действительные числа. Однако, ее аргумент, выражение $\frac{\pi}{x + 5}$, должен быть определен.

Аргумент является дробью, которая определена, если ее знаменатель не равен нулю.

$x + 5 \ne 0$

$x \ne -5$

Таким образом, область определения функции — все действительные числа, кроме $-5$.

Ответ: $(-\infty, -5) \cup (-5, +\infty)$.

5) Область определения функции арккотангенса $y = \text{arccot}(t)$ — все действительные числа. Однако, ее аргумент, выражение $\sqrt{x + 2}$, должен быть определен.

Аргумент содержит квадратный корень, который определен только для неотрицательных подкоренных выражений.

$x + 2 \ge 0$

$x \ge -2$

Таким образом, область определения функции — все числа, большие или равные $-2$.

Ответ: $[-2, \infty)$.

6) Данная функция является суммой двух функций: $y_1 = \arcsin(\frac{1}{x})$ и $y_2 = \text{arccot}(\sqrt{x - 1})$. Область определения исходной функции является пересечением областей определения этих двух функций.

1. Найдем область определения $y_1 = \arcsin(\frac{1}{x})$. Аргумент арксинуса должен быть в пределах от -1 до 1:

$-1 \le \frac{1}{x} \le 1$, что эквивалентно $| \frac{1}{x} | \le 1$, или $|x| \ge 1$.

Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Найдем область определения $y_2 = \text{arccot}(\sqrt{x - 1})$. Аргумент арккотангенса может быть любым действительным числом, но подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x - 1 \ge 0$

$x \ge 1$, то есть $x \in [1, \infty)$.

3. Найдем пересечение полученных областей определения:

$((-\infty, -1] \cup [1, \infty)) \cap [1, \infty) = [1, \infty)$.

Ответ: $[1, \infty)$.