Номер 29.5, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.5. Вычислите:

1) $cos(arccos \frac{1}{3});$

2) $tg(arctg 4);$

3) $cos(arccos \frac{\pi}{4});$

4) $tg(arctg \frac{\pi}{2}).$

1)

Для вычисления значения выражения $cos(\arccos\frac{1}{3})$ используется основное тождество для обратных тригонометрических функций. По определению, $\arccos a$ — это угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.

Тождество $cos(\arccos a) = a$ справедливо при условии, что аргумент $a$ находится в области определения функции арккосинус, то есть $|a| \le 1$.

В нашем случае $a = \frac{1}{3}$. Проверим выполнение условия: $| \frac{1}{3} | = \frac{1}{3}$, что меньше или равно 1. Условие выполняется.

Следовательно, применяя тождество, получаем: $cos(\arccos\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

2)

Для вычисления значения выражения $tg(\arctg 4)$ воспользуемся аналогичным тождеством для тангенса и арктангенса. По определению, $\arctg a$ — это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$.

Тождество $tg(\arctg a) = a$ справедливо для любого действительного числа $a$, так как область определения арктангенса — все действительные числа ($a \in \mathbb{R}$).

В данном примере $a = 4$. Так как 4 является действительным числом, тождество применимо.

Таким образом, $tg(\arctg 4) = 4$.

Ответ: $4$

3)

Для вычисления выражения $cos(\arccos\frac{\pi}{4})$ снова используем тождество $cos(\arccos a) = a$ при условии $|a| \le 1$.

Здесь $a = \frac{\pi}{4}$. Необходимо проверить, выполняется ли условие $| \frac{\pi}{4} | \le 1$.

Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$. Тогда $a = \frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14159}{4} \approx 0.785$.

Поскольку $-1 \le 0.785 \le 1$, условие выполняется.

Следовательно, $cos(\arccos\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

4)

Для вычисления выражения $tg(\arctg\frac{\pi}{2})$ применяем тождество $tg(\arctg a) = a$.

Это тождество справедливо для любого действительного значения $a$.

В нашем случае $a = \frac{\pi}{2}$. Это действительное число, поэтому мы можем напрямую применить тождество без дополнительных проверок.

Таким образом, $tg(\arctg\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$