Номер 29.12, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.12. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = \arcsin\sqrt{x + 4}$;

2) $y = \sqrt{\arccos x}$.

1) $y = \arcsin\sqrt{x} + 4$

Сначала найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Аргумент функции арксинус, которым является $\sqrt{x}$, должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$. Так как $\sqrt{x}$ всегда неотрицателен, это условие сводится к двойному неравенству $0 \le \sqrt{x} \le 1$. Возведя все части неравенства в квадрат, получим $0 \le x \le 1$. Таким образом, область определения данной функции $D(y) = [0, 1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке $[0, 1]$, проанализируем её составляющие. Функция $t(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей на своей области определения. Функция $g(t) = \arcsin t$ также является возрастающей. Композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция, поэтому $h(x) = \arcsin\sqrt{x}$ возрастает на отрезке $[0, 1]$.

Это означает, что свои наименьшее и наибольшее значения функция $h(x)$ принимает на концах отрезка $[0, 1]$.
Наименьшее значение $h(x)$ достигается при $x=0$:
$h_{наим} = \arcsin\sqrt{0} = \arcsin(0) = 0$.
Наибольшее значение $h(x)$ достигается при $x=1$:
$h_{наиб} = \arcsin\sqrt{1} = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.

Исходная функция $y = \arcsin\sqrt{x} + 4$ получается из функции $h(x)$ прибавлением константы 4. Это означает, что ее значения на 4 больше соответствующих значений $h(x)$.
Следовательно, наименьшее значение функции $y$:
$y_{наим} = 0 + 4 = 4$.
Наибольшее значение функции $y$:
$y_{наиб} = \frac{\pi}{2} + 4$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 4, наибольшее значение функции равно $4 + \frac{\pi}{2}$.

2) $y = \sqrt{\arccos x}$

Найдем область определения функции. Аргумент функции арккосинус должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$, то есть $-1 \le x \le 1$. Выражение под знаком квадратного корня, $\arccos x$, должно быть неотрицательным: $\arccos x \ge 0$.

По определению, область значений функции $g(x) = \arccos x$ есть отрезок $[0, \pi]$. Так как для любого $x \in [-1, 1]$ значение $\arccos x$ находится в пределах от $0$ до $\pi$, условие $\arccos x \ge 0$ выполняется всегда. Таким образом, область определения функции $y = \sqrt{\arccos x}$ совпадает с областью определения арккосинуса: $D(y) = [-1, 1]$.

Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения функции. Функция $t(x) = \arccos x$ является монотонно убывающей на всей своей области определения $[-1, 1]$.
Наибольшее значение $\arccos x$ достигается при $x=-1$ и равно $\arccos(-1) = \pi$.
Наименьшее значение $\arccos x$ достигается при $x=1$ и равно $\arccos(1) = 0$.
Область значений для $t(x) = \arccos x$ есть отрезок $[0, \pi]$.

Внешняя функция $f(t) = \sqrt{t}$ является монотонно возрастающей при $t \ge 0$. Так как композиция $y(x) = f(t(x))$ состоит из возрастающей внешней функции и убывающей внутренней, то итоговая функция $y(x) = \sqrt{\arccos x}$ является убывающей на отрезке $[-1, 1]$.
Следовательно, наибольшее значение функции $y$ достигается при наименьшем значении аргумента $x$, то есть при $x=-1$:
$y_{наиб} = \sqrt{\arccos(-1)} = \sqrt{\pi}$.
Наименьшее значение функции $y$ достигается при наибольшем значении аргумента $x$, то есть при $x=1$:
$y_{наим} = \sqrt{\arccos(1)} = \sqrt{0} = 0$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 0, наибольшее значение функции равно $\sqrt{\pi}$.