Номер 29.15, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.15. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $x^6 - 3x^3 - 10 = 0;$

2) $\sqrt{x+4} + 3\sqrt[4]{x+4} = 28;$

3) $\frac{2x+1}{x} + \frac{4x}{2x+1} = 5;$

4) $x^2 + x - \sqrt{x^2 + x - 2} = 8.$

1)

Данное уравнение $x^6 - 3x^3 - 10 = 0$ является бикубическим. Для его решения введем замену переменной.

Пусть $t = x^3$. Тогда $x^6 = (x^3)^2 = t^2$. Исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения:

$t^2 - 3t - 10 = 0$

Решим это уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Если $t = 5$, то $x^3 = 5$, откуда $x = \sqrt[3]{5}$.

Если $t = -2$, то $x^3 = -2$, откуда $x = \sqrt[3]{-2} = -\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $-\sqrt[3]{2}; \sqrt[3]{5}$.

2)

В уравнении $\sqrt{x+4} + 3\sqrt[4]{x+4} = 28$ определим область допустимых значений (ОДЗ): выражение под корнем должно быть неотрицательным, $x+4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt[4]{x+4}$. Тогда $\sqrt{x+4} = (\sqrt[4]{x+4})^2 = t^2$. По определению арифметического корня четной степени, $t \ge 0$.

Подставим замену в уравнение:

$t^2 + 3t = 28$

$t^2 + 3t - 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $-28$. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -7$.

Согласно условию $t \ge 0$, корень $t_2 = -7$ является посторонним. Используем только $t_1 = 4$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[4]{x+4} = 4$

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$x+4 = 4^4$

$x+4 = 256$

$x = 252$

Найденный корень $x=252$ удовлетворяет ОДЗ ($252 \ge -4$).

Ответ: $252$.

3)

Для уравнения $\frac{2x+1}{x} + \frac{4x}{2x+1} = 5$ найдем ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $x \ne 0$ и $2x+1 \ne 0 \implies x \ne -0.5$.

Заметим, что слагаемые в левой части являются взаимообратными выражениями. Введем замену: пусть $t = \frac{2x+1}{x}$. Тогда второе слагаемое $\frac{4x}{2x+1} = 4 \cdot \frac{x}{2x+1} = \frac{4}{t}$.

Уравнение принимает вид:

$t + \frac{4}{t} = 5$

Так как $2x+1$ в знаменателе, то $t \ne 0$. Умножим обе части на $t$:

$t^2 + 4 = 5t$

$t^2 - 5t + 4 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1) $\frac{2x+1}{x} = 1 \implies 2x+1 = x \implies x = -1$.

2) $\frac{2x+1}{x} = 4 \implies 2x+1 = 4x \implies 2x = 1 \implies x = 0.5$.

Оба корня, $-1$ и $0.5$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-1; 0.5$.

4)

Для решения уравнения $x^2 + x - \sqrt{x^2+x-2} = 8$ найдем ОДЗ: $x^2+x-2 \ge 0$. Корнями трехчлена $x^2+x-2=0$ являются $x_1=-2$ и $x_2=1$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$.

Преобразуем уравнение, чтобы выделить одинаковые выражения: $(x^2+x-2) - \sqrt{x^2+x-2} + 2 = 8$, что равносильно $(x^2+x-2) - \sqrt{x^2+x-2} - 6 = 0$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2+x-2}$. Тогда $x^2+x-2 = t^2$. По определению корня, $t \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$t^2 - t - 6 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только корень $t_1=3$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2+x-2} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2+x-2 = 9$

$x^2+x-11 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 1 + 44 = 45$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{-1 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.

Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ: $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$.

Корень $x_1 = \frac{-1+3\sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1+3 \cdot 2.24}{2} = \frac{5.72}{2} = 2.86$. Так как $2.86 \ge 1$, этот корень подходит.

Корень $x_2 = \frac{-1-3\sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1-6.72}{2} = \frac{-7.72}{2} = -3.86$. Так как $-3.86 \le -2$, этот корень также подходит.

Ответ: $\frac{-1 - 3\sqrt{5}}{2}; \frac{-1 + 3\sqrt{5}}{2}$.