Номер 30.2, страница 220 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.2. Решите уравнение:

1) $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0;$

2) $2\cos^2 2x - \cos 2x - 1 = 0;$

3) $4\tan^2 x - \tan x - 3 = 0;$

4) $3\cot^2 \frac{x}{3} - \cot \frac{x}{3} - 2 = 0.$

1) $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\sin x$. Введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$, при этом необходимо учесть, что область значений синуса $[-1, 1]$, поэтому $|t| \le 1$.

После замены уравнение принимает вид:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба найденных значения $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac{1}{2}$ удовлетворяют условию $|t| \le 1$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня:

a) $\sin x = 1$

Это частный случай, решением которого является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x = \frac{1}{2}$

Общая формула для решения этого уравнения:

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\cos^2 2x - \cos 2x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos 2x$. Сделаем замену. Пусть $t = \cos 2x$, где $|t| \le 1$.

Уравнение преобразуется к виду:

$2t^2 - t - 1 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Оба корня $t_1=1$ и $t_2=-\frac{1}{2}$ входят в допустимый диапазон $[-1, 1]$.

Выполняем обратную замену:

a) $\cos 2x = 1$

$2x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

б) $\cos 2x = -\frac{1}{2}$

$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm (\pi - \arccos(\frac{1}{2})) + 2\pi n = \pm (\pi - \frac{\pi}{3}) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Можно объединить полученные серии решений. Решения $x=\pi k$ и $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$ на единичной окружности представляют собой точки $0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$. Эти точки расположены с шагом $\frac{\pi}{3}$. Таким образом, все решения можно записать одной формулой:

$x = \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

3) $4\operatorname{tg}^2 x - \operatorname{tg} x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\operatorname{tg} x$. Пусть $t = \operatorname{tg} x$. Область значений тангенса — все действительные числа, поэтому на $t$ нет ограничений. Область определения тангенса $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение в новых переменных:

$4t^2 - t - 3 = 0$

Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$.

Корни:

$t_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{8} = \frac{1 + 7}{8} = 1$

$t_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{8} = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$

Выполняем обратную замену:

a) $\operatorname{tg} x = 1$

$x = \operatorname{arctg}(1) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

б) $\operatorname{tg} x = -\frac{3}{4}$

$x = \operatorname{arctg}(-\frac{3}{4}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = -\operatorname{arctg}(\frac{3}{4}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Найденные решения не совпадают с ограничениями области определения тангенса.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\operatorname{arctg}(\frac{3}{4}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $3\operatorname{ctg}^2 \frac{x}{3} - \operatorname{ctg} \frac{x}{3} - 2 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\operatorname{ctg} \frac{x}{3}$. Введем замену $t = \operatorname{ctg} \frac{x}{3}$. На $t$ ограничений нет. Область определения котангенса: $\frac{x}{3} \neq \pi k$, т.е. $x \neq 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение принимает вид:

$3t^2 - t - 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

Корни:

$t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{6} = \frac{1 + 5}{6} = 1$

$t_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{6} = \frac{1 - 5}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

Выполним обратную замену:

a) $\operatorname{ctg} \frac{x}{3} = 1$

$\frac{x}{3} = \operatorname{arcctg}(1) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$

б) $\operatorname{ctg} \frac{x}{3} = -\frac{2}{3}$

$\frac{x}{3} = \operatorname{arcctg}(-\frac{2}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = 3\operatorname{arcctg}(-\frac{2}{3}) + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Решения не попадают в точки, исключенные из области определения.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = 3\operatorname{arcctg}(-\frac{2}{3}) + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.