Номер 30.1, страница 220 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.1. Решите уравнение:

1) $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0;$

2) $2\cos^2 x - 5\cos x - 3 = 0;$

3) $\sin^2 3x + 2\sin 3x - 3 = 0;$

4) $\text{tg}^2 x - 2\text{tg} x - 3 = 0;$

5) $3\text{ctg}^2 2x + \text{ctg} 2x - 4 = 0;$

6) $3\cos^2 \frac{x}{4} + 5\cos \frac{x}{4} - 2 = 0.$

1) Дано уравнение $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.
Получаем уравнение: $2t^2 + t - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$.
Вернемся к исходной переменной:
1. $\sin x = \frac{1}{2}$. Решения этого уравнения имеют вид $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\sin x = -1$. Решения этого уравнения имеют вид $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $2\cos^2 x - 5\cos x - 3 = 0$.
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.
Получаем уравнение: $2t^2 - 5t - 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$t_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Корень $t_1 = 3$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, поэтому уравнение $\cos x = 3$ не имеет решений.
Корень $t_2 = -\frac{1}{2}$ удовлетворяет условию.
Вернемся к исходной переменной: $\cos x = -\frac{1}{2}$.
Решения этого уравнения имеют вид $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $\sin^2 3x + 2\sin 3x - 3 = 0$.
Сделаем замену $t = \sin 3x$, где $|t| \le 1$.
Получаем уравнение: $t^2 + 2t - 3 = 0$.
По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -3$.
Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, поэтому уравнение $\sin 3x = -3$ не имеет решений.
Корень $t_1 = 1$ удовлетворяет условию.
Вернемся к исходной переменной: $\sin 3x = 1$.
Это частный случай, решения которого: $3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 3: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $\operatorname{tg}^2 x - 2\operatorname{tg} x - 3 = 0$.
Сделаем замену $t = \operatorname{tg} x$.
Получаем уравнение: $t^2 - 2t - 3 = 0$.
По теореме Виета находим корни: $t_1 = 3$, $t_2 = -1$.
Вернемся к исходной переменной:
1. $\operatorname{tg} x = 3$. Решения: $x = \operatorname{arctg}(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\operatorname{tg} x = -1$. Решения: $x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \operatorname{arctg}(3) + \pi n$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

5) Дано уравнение $3\operatorname{ctg}^2 2x + \operatorname{ctg} 2x - 4 = 0$.
Сделаем замену $t = \operatorname{ctg} 2x$.
Получаем уравнение: $3t^2 + t - 4 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 7}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$.
Вернемся к исходной переменной:
1. $\operatorname{ctg} 2x = 1$. Отсюда $2x = \operatorname{arcctg}(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$. Тогда $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\operatorname{ctg} 2x = -\frac{4}{3}$. Отсюда $2x = \operatorname{arcctg}(-\frac{4}{3}) + \pi k$. Тогда $x = \frac{1}{2}\operatorname{arcctg}(-\frac{4}{3}) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, $x = \frac{1}{2}\operatorname{arcctg}(-\frac{4}{3}) + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

6) Дано уравнение $3\cos^2 \frac{x}{4} + 5\cos \frac{x}{4} - 2 = 0$.
Сделаем замену $t = \cos \frac{x}{4}$, где $|t| \le 1$.
Получаем уравнение: $3t^2 + 5t - 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$t_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, поэтому уравнение $\cos \frac{x}{4} = -2$ не имеет решений.
Корень $t_1 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию.
Вернемся к исходной переменной: $\cos \frac{x}{4} = \frac{1}{3}$.
Решения этого уравнения: $\frac{x}{4} = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Умножим обе части на 4: $x = \pm 4\arccos(\frac{1}{3}) + 8\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm 4\arccos(\frac{1}{3}) + 8\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.