Номер 30.8, страница 221 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.8. Решите уравнение:

1) $\sin^2 x + 3\cos^2 x - 2\sin 2x = 0;$

2) $5\sin^2 x - 5\sin x \cos x + 2\cos^2 x = 1;$

3) $6\sin^2 x + 2\sin 2x + 4\cos^2 x = 3;$

4) $2\cos^2 x + \sin 2x - 2 = 0;$

5) $3\sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x + 5\cos^2 x = 2;$

6) $ \frac{2\sin x - \cos x}{5\sin x - 4\cos x} = \frac{1}{3}. $

1) Дано уравнение $sin^2x + 3cos^2x - 2sin2x = 0$.

Используем формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinxcosx$:

$sin^2x + 3cos^2x - 2(2sinxcosx) = 0$

$sin^2x - 4sinxcosx + 3cos^2x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Заметим, что $cosx=0$ не является решением, так как в этом случае $sin^2x=1$, и уравнение принимает вид $1=0$, что неверно. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $cos^2x$:

$\frac{sin^2x}{cos^2x} - \frac{4sinxcosx}{cos^2x} + \frac{3cos^2x}{cos^2x} = 0$

$tan^2x - 4tanx + 3 = 0$

Пусть $t = tanx$, тогда получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Возвращаемся к переменной $x$:

Если $tanx = 1$, то $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Если $tanx = 3$, то $x = arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, x = arctan(3) + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $5sin^2x - 5sinxcosx + 2cos^2x = 1$.

Используем основное тригонометрическое тождество $1 = sin^2x + cos^2x$:

$5sin^2x - 5sinxcosx + 2cos^2x = sin^2x + cos^2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(5sin^2x - sin^2x) - 5sinxcosx + (2cos^2x - cos^2x) = 0$

$4sin^2x - 5sinxcosx + cos^2x = 0$

Это однородное уравнение. Разделим его на $cos^2x$ (убедившись, что $cosx \ne 0$, иначе $4sin^2x=0 \implies sinx=0$, что невозможно одновременно с $cosx=0$):

$4tan^2x - 5tanx + 1 = 0$

Пусть $t = tanx$:

$4t^2 - 5t + 1 = 0$

Находим корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$.

$t_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

Возвращаемся к $x$:

Если $tanx = 1$, то $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Если $tanx = \frac{1}{4}$, то $x = arctan(\frac{1}{4}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, x = arctan(\frac{1}{4}) + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $6sin^2x + 2sin2x + 4cos^2x = 3$.

Используем формулу $sin2x = 2sinxcosx$ и тождество $3 = 3(sin^2x + cos^2x)$:

$6sin^2x + 2(2sinxcosx) + 4cos^2x = 3sin^2x + 3cos^2x$

$6sin^2x + 4sinxcosx + 4cos^2x = 3sin^2x + 3cos^2x$

Приводим подобные слагаемые:

$3sin^2x + 4sinxcosx + cos^2x = 0$

Снова получили однородное уравнение. Делим на $cos^2x$:

$3tan^2x + 4tanx + 1 = 0$

Пусть $t = tanx$:

$3t^2 + 4t + 1 = 0$

Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.

$t_1 = \frac{-4 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

$t_2 = \frac{-4 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Возвращаемся к $x$:

Если $tanx = -1$, то $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Если $tanx = -\frac{1}{3}$, то $x = arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k = -arctan(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, x = -arctan(\frac{1}{3}) + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $2cos^2x + sin2x - 2 = 0$.

Используем формулу $sin2x = 2sinxcosx$:

$2cos^2x + 2sinxcosx - 2 = 0$

Вынесем общий множитель $2cosx$ за скобки (предварительно можно заменить $-2$ на $-2(sin^2x + cos^2x)$, но есть способ проще):

$2(cos^2x - 1) + 2sinxcosx = 0$

Используем тождество $cos^2x - 1 = -sin^2x$:

$-2sin^2x + 2sinxcosx = 0$

$-2sinx(sinx - cosx) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $sinx = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. $sinx - cosx = 0 \implies sinx = cosx$. Делим на $cosx$ (он не может быть равен 0, т.к. тогда и $sinx=0$, что невозможно):

$tanx = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, x = \frac{\pi}{4} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$.

5) Дано уравнение $3sin^2x - 2\sqrt{3}sinxcosx + 5cos^2x = 2$.

Заменяем $2$ на $2(sin^2x + cos^2x)$:

$3sin^2x - 2\sqrt{3}sinxcosx + 5cos^2x = 2sin^2x + 2cos^2x$

Переносим все в левую часть:

$(3sin^2x - 2sin^2x) - 2\sqrt{3}sinxcosx + (5cos^2x - 2cos^2x) = 0$

$sin^2x - 2\sqrt{3}sinxcosx + 3cos^2x = 0$

Делим на $cos^2x$:

$tan^2x - 2\sqrt{3}tanx + 3 = 0$

Это выражение является полным квадратом:

$(tanx - \sqrt{3})^2 = 0$

$tanx - \sqrt{3} = 0$

$tanx = \sqrt{3}$

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6) Дано уравнение $\frac{2sinx - cosx}{5sinx - 4cosx} = \frac{1}{3}$.

Область допустимых значений: $5sinx - 4cosx \ne 0$.

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$3(2sinx - cosx) = 1(5sinx - 4cosx)$

$6sinx - 3cosx = 5sinx - 4cosx$

Группируем слагаемые:

$6sinx - 5sinx = -4cosx + 3cosx$

$sinx = -cosx$

Если $cosx = 0$, то $sinx = 0$, что невозможно. Значит, $cosx \ne 0$, и мы можем разделить обе части на $cosx$:

$\frac{sinx}{cosx} = -1$

$tanx = -1$

Проверим ОДЗ: если $tanx = -1$, то $sinx = -\frac{1}{\sqrt{2}}, cosx = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (или наоборот с другими знаками). Подставим в знаменатель: $5(-\frac{1}{\sqrt{2}}) - 4(\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{9}{\sqrt{2}} \ne 0$. Условие выполняется.

Находим решение:

$x = arctan(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.