Номер 30.15, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.15. Решите уравнение:

1) $3\sin x - 8\cos x = 3$;

2) $2\sin x - 5\cos x = 3$.

1) $3\sin x - 8\cos x = 3$

Данное уравнение вида $a\sin x + b\cos x = c$ решается с помощью универсальной тригонометрической подстановки. Введем замену $t = \tan(x/2)$. В этом случае $\sin x$ и $\cos x$ выражаются через $t$ следующим образом:

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

Эта подстановка определена для всех $x$, кроме $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Поэтому необходимо отдельно проверить, являются ли эти значения $x$ корнями исходного уравнения. При $x = \pi + 2\pi k$ имеем $\sin x = 0$ и $\cos x = -1$. Подставим в уравнение:

$3 \cdot 0 - 8 \cdot (-1) = 3$

$8 = 3$

Равенство неверное, следовательно, $x = \pi + 2\pi k$ не являются решениями.

Теперь подставим выражения для синуса и косинуса в уравнение:

$3 \left( \frac{2t}{1+t^2} \right) - 8 \left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right) = 3$

Умножим обе части уравнения на $(1+t^2)$, так как $1+t^2 > 0$ при любом $t$:

$6t - 8(1-t^2) = 3(1+t^2)$

$6t - 8 + 8t^2 = 3 + 3t^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$5t^2 + 6t - 11 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Заметим, что сумма его коэффициентов равна нулю: $5+6-11 = 0$. Это означает, что один из корней равен $1$, а второй, по теореме Виета, равен $\frac{c}{a}$.

$t_1 = 1$

$t_2 = \frac{-11}{5}$

Теперь выполним обратную замену для каждого корня:

1. Для $t_1 = 1$:

$\tan(x/2) = 1$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2. Для $t_2 = -11/5$:

$\tan(x/2) = -\frac{11}{5}$

$\frac{x}{2} = \arctan\left(-\frac{11}{5}\right) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$

$x = 2\arctan\left(-\frac{11}{5}\right) + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = 2\arctan\left(-\frac{11}{5}\right) + 2\pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin x - 5\cos x = 3$

Для решения этого уравнения также воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой $t = \tan(x/2)$.

Проверим случай $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $\sin x = 0$ и $\cos x = -1$.

$2 \cdot 0 - 5 \cdot (-1) = 3$

$5 = 3$

Равенство неверное, значит, эти значения не являются корнями уравнения.

Выполним подстановку $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ в уравнение:

$2 \left( \frac{2t}{1+t^2} \right) - 5 \left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right) = 3$

Умножим обе части на $(1+t^2)$:

$4t - 5(1-t^2) = 3(1+t^2)$

$4t - 5 + 5t^2 = 3 + 3t^2$

Приведем подобные, чтобы получить квадратное уравнение:

$2t^2 + 4t - 8 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$t^2 + 2t - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$

Корни уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$

Получаем два значения для $t$:

$t_1 = -1 + \sqrt{5}$

$t_2 = -1 - \sqrt{5}$

Выполним обратную замену:

1. Для $t_1 = -1 + \sqrt{5}$:

$\tan(x/2) = \sqrt{5}-1$

$\frac{x}{2} = \arctan(\sqrt{5}-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\arctan(\sqrt{5}-1) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2. Для $t_2 = -1 - \sqrt{5}$:

$\tan(x/2) = -1 - \sqrt{5}$

$\frac{x}{2} = \arctan(-1 - \sqrt{5}) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$

$x = 2\arctan(-1 - \sqrt{5}) + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\arctan(\sqrt{5}-1) + 2\pi n, \quad x = 2\arctan(-1-\sqrt{5}) + 2\pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.