Номер 30.21, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.21. При каких значениях a имеет корни уравнение:

1) $ \sin^2 x - (3a - 3)\sin x + a(2a - 3) = 0; $

2) $ \cos^2 x + 2\cos x + a^2 - 6a + 10 = 0? $

1) Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно $ \sin x $.

Пусть $ t = \sin x $, где $ -1 \le t \le 1 $. Уравнение принимает вид:

$ t^2 - (3a - 3)t + a(2a - 3) = 0 $

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$ D = (-(3a - 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot a(2a - 3) = (3a - 3)^2 - 4(2a^2 - 3a) $

$ D = 9a^2 - 18a + 9 - 8a^2 + 12a = a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2 $

Поскольку $ D = (a - 3)^2 \ge 0 $ при любых значениях $ a $, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем эти корни:

$ t = \frac{3a - 3 \pm \sqrt{(a - 3)^2}}{2} = \frac{3a - 3 \pm (a - 3)}{2} $

Получаем два корня:

$ t_1 = \frac{3a - 3 + (a - 3)}{2} = \frac{4a - 6}{2} = 2a - 3 $

$ t_2 = \frac{3a - 3 - (a - 3)}{2} = \frac{2a}{2} = a $

Исходное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда хотя бы один из найденных корней $ t_1 $ или $ t_2 $ принадлежит отрезку $ [-1; 1] $, так как $ t = \sin x $.

Это равносильно совокупности двух условий:

$ \left[ \begin{array}{l} -1 \le 2a - 3 \le 1, \\ -1 \le a \le 1. \end{array} \right. $

Решим первое двойное неравенство:

$ -1 \le 2a - 3 \implies 2 \le 2a \implies a \ge 1 $

$ 2a - 3 \le 1 \implies 2a \le 4 \implies a \le 2 $

Таким образом, решением первого неравенства является отрезок $ [1; 2] $.

Второе неравенство уже дает готовый отрезок $ [-1; 1] $.

Условие существования корней выполняется, если $ a $ принадлежит объединению этих двух отрезков: $ [-1; 1] \cup [1; 2] $, что дает итоговый отрезок $ [-1; 2] $.

Следовательно, уравнение имеет корни при $ a \in [-1; 2] $.

Ответ: $ a \in [-1; 2] $.

2) Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты.

$ \cos^2 x + 2\cos x + a^2 - 6a + 10 = 0 $

Сгруппируем слагаемые:

$ (\cos^2 x + 2\cos x + 1) + (a^2 - 6a + 9) = 0 $

Свернем полные квадраты:

$ (\cos x + 1)^2 + (a - 3)^2 = 0 $

Сумма двух неотрицательных выражений (квадратов) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю.

Следовательно, мы получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} (\cos x + 1)^2 = 0 \\ (a - 3)^2 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения системы находим значение $ a $:

$ a - 3 = 0 \implies a = 3 $

Из первого уравнения системы находим значение $ \cos x $:

$ \cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1 $

Уравнение $ \cos x = -1 $ имеет корни (например, $ x = \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} $).

Таким образом, исходное уравнение имеет корни только при одновременном выполнении этих двух условий, что возможно только при $ a = 3 $.

Ответ: $ a = 3 $.