Номер 30.24, страница 223 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.24. Решите уравнение:

1) $6x^3 - 24x = 0;$

2) $x^3 - 5x^2 + 9x - 45 = 0;$

3) $x^5 + 2x^4 + 8x + 16 = 0;$

4) $x^3 - 2x^2 + 2x - 1 = 0.$

1) $6x^3 - 24x = 0$

Для решения данного уравнения вынесем общий множитель $6x$ за скобки:

$6x(x^2 - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

1. $6x = 0 \implies x_1 = 0$

2. $x^2 - 4 = 0$. Это уравнение можно решить, разложив левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 2)(x + 2) = 0$

Отсюда получаем еще два корня:

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

$x + 2 = 0 \implies x_3 = -2$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-2; 0; 2$.

2) $x^3 - 5x^2 + 9x - 45 = 0$

Для решения применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(x^3 - 5x^2) + (9x - 45) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 5) + 9(x - 5) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 5)$ за скобки:

$(x - 5)(x^2 + 9) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x - 5 = 0 \implies x = 5$

2. $x^2 + 9 = 0 \implies x^2 = -9$. Данное уравнение не имеет действительных корней, поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $5$.

3) $x^5 + 2x^4 + 8x + 16 = 0$

Воспользуемся методом группировки слагаемых:

$(x^5 + 2x^4) + (8x + 16) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^4(x + 2) + 8(x + 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 2)$ за скобки:

$(x + 2)(x^4 + 8) = 0$

Рассмотрим два возможных случая:

1. $x + 2 = 0 \implies x = -2$

2. $x^4 + 8 = 0 \implies x^4 = -8$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как четная степень (в данном случае 4-я) любого действительного числа является неотрицательной величиной.

Таким образом, у уравнения есть единственный действительный корень.

Ответ: $-2$.

4) $x^3 - 2x^2 + 2x - 1 = 0$

Перегруппируем слагаемые для удобства разложения на множители:

$(x^3 - 1) + (-2x^2 + 2x) = 0$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ к первому выражению в скобках. Во втором выражении вынесем общий множитель $-2x$:

$(x - 1)(x^2 + x + 1) - 2x(x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)((x^2 + x + 1) - 2x) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x - 1)(x^2 - x + 1) = 0$

Рассмотрим два случая:

1. $x - 1 = 0 \implies x = 1$

2. $x^2 - x + 1 = 0$. Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $1$.