Номер 31.6, страница 225 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.6. Решите уравнение:

1) $ \sin 2x + 2\sin x = 0; $

2) $ \sin 2x - \cos x = 2\sin x - 1; $

3) $ 1 - \cos 8x = \sin 4x; $

4) $ \sin 2x + \sin 4x + \cos x = 0; $

5) $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0; $

6) $ \cos 9x - \cos 7x + \cos 3x - \cos x = 0; $

7) $ \sin x - \sin 2x + \sin 5x + \sin 8x = 0; $

8) $ \sqrt{2} \cos 5x + \sin 3x - \sin 7x = 0. $

1)Исходное уравнение: $\sin 2x + 2\sin x = 0$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$2\sin x \cos x + 2\sin x = 0$
Вынесем общий множитель $2\sin x$ за скобки:
$2\sin x (\cos x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1. $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Вторая серия решений ($x = \pi + 2\pi k$) является подмножеством первой серии ($x = \pi n$, при нечетных $n$). Следовательно, общее решение — это первая серия.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2)Исходное уравнение: $\sin 2x - \cos x = 2\sin x - 1$.
Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их:
$(\sin 2x - 2\sin x) - (\cos x - 1) = 0$
Применим формулу $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и вынесем общие множители:
$(2\sin x \cos x - 2\sin x) - (\cos x - 1) = 0$
$2\sin x (\cos x - 1) - 1(\cos x - 1) = 0$
$(2\sin x - 1)(\cos x - 1) = 0$
Получаем два случая:
1. $2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. $\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1 \implies x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3)Исходное уравнение: $1 - \cos 8x = \sin 4x$.
Применим формулу понижения степени $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2 \alpha$. В нашем случае $\alpha = 4x$:
$2\sin^2 4x = \sin 4x$
Перенесем все в левую часть:
$2\sin^2 4x - \sin 4x = 0$
Вынесем $\sin 4x$ за скобки:
$\sin 4x (2\sin 4x - 1) = 0$
Получаем два случая:
1. $\sin 4x = 0 \implies 4x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $2\sin 4x - 1 = 0 \implies \sin 4x = \frac{1}{2} \implies 4x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

4)Исходное уравнение: $\sin 2x + \sin 4x + \cos x = 0$.
Применим к первым двум слагаемым формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$2\sin\frac{2x+4x}{2}\cos\frac{4x-2x}{2} + \cos x = 0$
$2\sin 3x \cos x + \cos x = 0$
Вынесем $\cos x$ за скобки:
$\cos x (2\sin 3x + 1) = 0$
Получаем два случая:
1. $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $2\sin 3x + 1 = 0 \implies \sin 3x = -\frac{1}{2} \implies 3x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

5)Исходное уравнение: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$.
Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы синусов:
$(\sin x + \sin 3x) + \sin 2x = 0$
$2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} + \sin 2x = 0$
$2\sin 2x \cos x + \sin 2x = 0$
Вынесем $\sin 2x$ за скобки:
$\sin 2x (2\cos x + 1) = 0$
Получаем два случая:
1. $\sin 2x = 0 \implies 2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6)Исходное уравнение: $\cos 9x - \cos 7x + \cos 3x - \cos x = 0$.
Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$(\cos 9x - \cos 7x) + (\cos 3x - \cos x) = 0$
$-2\sin\frac{9x+7x}{2}\sin\frac{9x-7x}{2} - 2\sin\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2} = 0$
$-2\sin 8x \sin x - 2\sin 2x \sin x = 0$
Вынесем $-2\sin x$ за скобки:
$-2\sin x (\sin 8x + \sin 2x) = 0$
Применим формулу суммы синусов:
$\sin x (2\sin\frac{8x+2x}{2}\cos\frac{8x-2x}{2}) = 0$
$\sin x \cdot 2\sin 5x \cos 3x = 0$
Получаем три случая:
1. $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\sin 5x = 0 \implies 5x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
3. $\cos 3x = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Заметим, что первая серия решений ($x = \pi n$) содержится во второй ($x = \frac{\pi k}{5}$ при $k=5n$), поэтому её можно не указывать отдельно.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$.

7)Исходное уравнение: $\sin x - \sin 2x + \sin 5x + \sin 8x = 0$.
Сгруппируем слагаемые: $(\sin 8x + \sin x) + (\sin 5x - \sin 2x) = 0$.
Применим формулы суммы и разности синусов:
$2\sin\frac{8x+x}{2}\cos\frac{8x-x}{2} + 2\cos\frac{5x+2x}{2}\sin\frac{5x-2x}{2} = 0$
$2\sin\frac{9x}{2}\cos\frac{7x}{2} + 2\cos\frac{7x}{2}\sin\frac{3x}{2} = 0$
Вынесем $2\cos\frac{7x}{2}$ за скобки:
$2\cos\frac{7x}{2}(\sin\frac{9x}{2} + \sin\frac{3x}{2}) = 0$
Применим формулу суммы синусов к выражению в скобках:
$2\cos\frac{7x}{2}(2\sin\frac{\frac{9x}{2}+\frac{3x}{2}}{2}\cos\frac{\frac{9x}{2}-\frac{3x}{2}}{2}) = 0$
$4\cos\frac{7x}{2}\sin 3x \cos\frac{3x}{2} = 0$
Получаем три случая:
1. $\cos\frac{7x}{2} = 0 \implies \frac{7x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\sin 3x = 0 \implies 3x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
3. $\cos\frac{3x}{2} = 0 \implies \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi m}{3}$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Третья серия решений является подмножеством второй (при нечетных $k = 1+2m$). Поэтому достаточно указать первые две серии решений.
Ответ: $x = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

8)Исходное уравнение: $\sqrt{2}\cos 5x + \sin 3x - \sin 7x = 0$.
Преобразуем разность синусов: $\sin 3x - \sin 7x = -(\sin 7x - \sin 3x)$.
Применим формулу разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$\sqrt{2}\cos 5x - 2\cos\frac{7x+3x}{2}\sin\frac{7x-3x}{2} = 0$
$\sqrt{2}\cos 5x - 2\cos 5x \sin 2x = 0$
Вынесем $\cos 5x$ за скобки:
$\cos 5x (\sqrt{2} - 2\sin 2x) = 0$
Получаем два случая:
1. $\cos 5x = 0 \implies 5x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\sqrt{2} - 2\sin 2x = 0 \implies 2\sin 2x = \sqrt{2} \implies \sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$2x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.