Номер 31.1, страница 224 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.1. Решите уравнение:

1) $ \cos x + \cos 3x = 0; $

2) $ \sin 5x - \sin x = 0; $

3) $ 2\sin x \cos 2x - \sin x + 2\cos 2x - 1 = 0; $

4) $ 2\sin x \operatorname{tg} x + 2\sqrt{3} \sin x - \operatorname{tg} x - \sqrt{3} = 0. $

1) Исходное уравнение: $ \cos x + \cos 3x = 0 $.
Для решения используем формулу суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Применим эту формулу к нашему уравнению: $ 2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 0 $
$ 2\cos(2x)\cos(x) = 0 $
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:
1) $ \cos x = 0 $
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
2) $ \cos 2x = 0 $
$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.
Объединяя эти две серии решений, получаем окончательный ответ.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

2) Исходное уравнение: $ \sin 5x - \sin x = 0 $.
Воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2} $.
Преобразуем уравнение: $ 2\sin\frac{5x-x}{2}\cos\frac{5x+x}{2} = 0 $
$ 2\sin(2x)\cos(3x) = 0 $
Это уравнение распадается на два:
1) $ \sin 2x = 0 $
$ 2x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.
2) $ \cos 3x = 0 $
$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.
Общим решением является объединение этих двух множеств.
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.

3) Исходное уравнение: $ 2\sin x \cos 2x - \sin x + 2\cos 2x - 1 = 0 $.
Решим это уравнение методом группировки слагаемых: $ (2\sin x \cos 2x - \sin x) + (2\cos 2x - 1) = 0 $
Вынесем общие множители за скобки: $ \sin x (2\cos 2x - 1) + 1 \cdot (2\cos 2x - 1) = 0 $
$ (\sin x + 1)(2\cos 2x - 1) = 0 $
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $ \sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -1 $
$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
2) $ 2\cos 2x - 1 = 0 \implies \cos 2x = \frac{1}{2} $
$ 2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
$ x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

4) Исходное уравнение: $ 2\sin x \operatorname{tg} x + 2\sqrt{3} \sin x - \operatorname{tg} x - \sqrt{3} = 0 $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования тангенса: $ \cos x \neq 0 $, то есть $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители: $ (2\sin x \operatorname{tg} x + 2\sqrt{3} \sin x) - (\operatorname{tg} x + \sqrt{3}) = 0 $
$ 2\sin x (\operatorname{tg} x + \sqrt{3}) - 1 \cdot (\operatorname{tg} x + \sqrt{3}) = 0 $
$ (2\sin x - 1)(\operatorname{tg} x + \sqrt{3}) = 0 $
Получаем два случая:
1) $ 2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} $
$ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Эти решения удовлетворяют ОДЗ, так как косинус в этих точках не равен нулю.
2) $ \operatorname{tg} x + \sqrt{3} = 0 \implies \operatorname{tg} x = -\sqrt{3} $
$ x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Эти решения также удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.