Номер 31.4, страница 224 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.4. Решите уравнение:

1) $\sin\left(\frac{\pi}{12} + x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 0;$

2) $\cos 5x + \sin 3x = 0.$

1) $\sin\left(\frac{\pi}{12} + x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой суммы синусов:

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{12} + x$ и $\beta = \frac{\pi}{4} - x$.

Найдем полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{(\frac{\pi}{12} + x) + (\frac{\pi}{4} - x)}{2} = \frac{\frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{4\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{(\frac{\pi}{12} + x) - (\frac{\pi}{4} - x)}{2} = \frac{\frac{\pi}{12} + x - \frac{3\pi}{12} + x}{2} = \frac{2x - \frac{2\pi}{12}}{2} = \frac{2x - \frac{\pi}{6}}{2} = x - \frac{\pi}{12}$

Подставим полученные выражения в формулу:

$2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(x - \frac{\pi}{12}\right) = 0$

Так как $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, уравнение принимает вид:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos\left(x - \frac{\pi}{12}\right) = 0$

$\cos\left(x - \frac{\pi}{12}\right) = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение имеет вид:

$x - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12} + \pi n$

$x = \frac{6\pi}{12} + \frac{\pi}{12} + \pi n$

$x = \frac{7\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{7\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos 5x + \sin 3x = 0$

Перенесем $\sin 3x$ в правую часть уравнения:

$\cos 5x = -\sin 3x$

Воспользуемся формулой приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$\cos 5x = \cos\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right)$

Равенство косинусов $\cos a = \cos b$ выполняется, если $a = \pm b + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1:

$5x = \frac{\pi}{2} + 3x + 2\pi n$

$5x - 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Случай 2:

$5x = -\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) + 2\pi k$

$5x = -\frac{\pi}{2} - 3x + 2\pi k$

$5x + 3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$8x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = -\frac{\pi}{16} + \frac{2\pi k}{8}$

$x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, получаем две серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.