Номер 30.22, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.22. При каких значениях $a$ имеет корни уравнение:

1) $\cos^2 x - \cos x + a - a^2 = 0$;

2) $\sin^2 x - 2a\sin x + 2a^2 - 4a + 4 = 0?$

1)Рассмотрим уравнение $\cos^2 x - \cos x + a - a^2 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$. Поскольку область значений функции косинус находится в пределах от -1 до 1, то для переменной $t$ должно выполняться условие $t \in [-1; 1]$.
После замены уравнение принимает вид:
$t^2 - t + (a - a^2) = 0$.
Исходное уравнение будет иметь корни тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение будет иметь хотя бы один корень $t$ в промежутке $[-1; 1]$.
Найдем корни этого квадратного уравнения. Вычислим дискриминант $D$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - a^2) = 1 - 4a + 4a^2 = (2a - 1)^2$.
Поскольку $D = (2a - 1)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.
Найдем эти корни:
$t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(2a-1)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm (2a - 1)}{2}$.
Получаем два корня:
$t_1 = \frac{1 + (2a - 1)}{2} = \frac{2a}{2} = a$.
$t_2 = \frac{1 - (2a - 1)}{2} = \frac{1 - 2a + 1}{2} = \frac{2 - 2a}{2} = 1 - a$.
Теперь необходимо, чтобы хотя бы один из этих корней принадлежал отрезку $[-1; 1]$. Это условие можно записать в виде совокупности неравенств:
$\left[ \begin{array}{l} -1 \le t_1 \le 1 \\ -1 \le t_2 \le 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} -1 \le a \le 1 \\ -1 \le 1 - a \le 1 \end{array} \right.$
Решим второе двойное неравенство:
$-1 \le 1 - a \implies a \le 1 + 1 \implies a \le 2$.
$1 - a \le 1 \implies -a \le 0 \implies a \ge 0$.
Таким образом, второе неравенство равносильно $0 \le a \le 2$.
Теперь найдем объединение решений двух неравенств:
$a \in [-1; 1] \cup [0; 2]$.
Объединением этих двух отрезков является отрезок $[-1; 2]$.
Следовательно, при $a \in [-1; 2]$ уравнение имеет корни.
Ответ: $a \in [-1; 2]$.

2)Рассмотрим уравнение $\sin^2 x - 2a\sin x + 2a^2 - 4a + 4 = 0$.
Это уравнение также можно рассматривать как квадратное относительно $\sin x$. Однако, более элегантный способ решения — выделить полные квадраты.
Сгруппируем слагаемые:
$(\sin^2 x - 2a\sin x) + (2a^2 - 4a + 4) = 0$.
Дополним первую скобку до полного квадрата, прибавив и вычтя $a^2$:
$(\sin^2 x - 2a\sin x + a^2) - a^2 + (2a^2 - 4a + 4) = 0$.
Теперь свернем полный квадрат и упростим оставшиеся члены:
$(\sin x - a)^2 + (a^2 - 4a + 4) = 0$.
Заметим, что второе слагаемое также является полным квадратом: $a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$.
Таким образом, уравнение принимает вид:
$(\sin x - a)^2 + (a - 2)^2 = 0$.
Мы получили сумму двух квадратов, которая равна нулю. Сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю.
Это равносильно системе уравнений:
$\begin{cases} \sin x - a = 0 \\ a - 2 = 0 \end{cases}$
Из второго уравнения системы сразу находим значение $a$:
$a = 2$.
Подставим это значение в первое уравнение:
$\sin x - 2 = 0 \implies \sin x = 2$.
Однако, область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$. Уравнение $\sin x = 2$ не имеет решений, так как $2 \notin [-1; 1]$.
Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором данная система уравнений имела бы решение. Это означает, что исходное уравнение не имеет корней ни при каком значении параметра $a$.
Ответ: таких значений $a$ не существует.