Номер 30.18, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.18. Найдите сумму корней уравнения $2\sin^2x + 7\cos x + 2 = 0$, принадлежащих промежутку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Для решения данного тригонометрического уравнения $2\sin^2x + 7\cos x + 2 = 0$ необходимо привести его к одной тригонометрической функции. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2x + \cos^2x = 1$, из которого выразим $\sin^2x = 1 - \cos^2x$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $2(1 - \cos^2x) + 7\cos x + 2 = 0$ $2 - 2\cos^2x + 7\cos x + 2 = 0$ $-2\cos^2x + 7\cos x + 4 = 0$ Домножим уравнение на $-1$, чтобы коэффициент при старшей степени был положительным: $2\cos^2x - 7\cos x - 4 = 0$

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно $\cos x$. Произведем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Учитывая, что область значений функции косинус лежит в пределах от $-1$ до $1$, должно выполняться условие $-1 \le t \le 1$. Уравнение в новых переменных будет выглядеть так: $2t^2 - 7t - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$ Теперь найдем корни уравнения для $t$: $t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$ $t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Выполним обратную замену. Для $t_1 = 4$ получаем уравнение $\cos x = 4$. Это уравнение не имеет решений, так как $4 > 1$, что не входит в область значений косинуса. Для $t_2 = -\frac{1}{2}$ получаем уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$. Этот корень удовлетворяет условию $-1 \le -\frac{1}{2} \le 1$.

Решим уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$. Общее решение этого уравнения: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Теперь необходимо отобрать корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$. Рассмотрим первую серию корней: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

• При $n=0$: $x = \frac{2\pi}{3}$. Этот корень принадлежит промежутку, так как $-\frac{\pi}{2} \le \frac{2\pi}{3} \le \frac{3\pi}{2}$ ($-0.5\pi \le 0.66...\pi \le 1.5\pi$).
• При $n=1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$, что больше $\frac{3\pi}{2}$.
• При $n=-1$: $x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$, что меньше $-\frac{\pi}{2}$.

• При $n=0$: $x = -\frac{2\pi}{3}$. Этот корень не принадлежит промежутку, так как $-\frac{2\pi}{3} < -\frac{\pi}{2}$ ($-0.66...\pi < -0.5\pi$).
• При $n=1$: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$. Этот корень принадлежит промежутку, так как $-\frac{\pi}{2} \le \frac{4\pi}{3} \le \frac{3\pi}{2}$ ($-0.5\pi \le 1.33...\pi \le 1.5\pi$).
• При $n=2$: $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$, что больше $\frac{3\pi}{2}$.

Итак, на заданном промежутке уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{2\pi}{3}$ и $x_2 = \frac{4\pi}{3}$.

Найдем их сумму: Сумма корней = $x_1 + x_2 = \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$