Номер 30.11, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.11. Найдите наименьший положительный корень уравнения $6\sin^2x + 2\sin^2(2x) = 5.$

Исходное уравнение:

$$6\sin^2x + 2\sin^22x = 5$$

Для решения этого уравнения преобразуем его, используя тригонометрические формулы. Воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$.

Применим эту формулу к члену $6\sin^2x$:

$$6 \cdot \frac{1-\cos(2x)}{2} + 2\sin^22x = 5$$

$$3(1-\cos(2x)) + 2\sin^22x = 5$$

$$3 - 3\cos(2x) + 2\sin^22x = 5$$

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $\sin^2(2x) = 1 - \cos^2(2x)$. Подставим это выражение в уравнение:

$$3 - 3\cos(2x) + 2(1 - \cos^2(2x)) = 5$$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$3 - 3\cos(2x) + 2 - 2\cos^2(2x) = 5$$

$$5 - 3\cos(2x) - 2\cos^2(2x) = 5$$

Вычтем 5 из обеих частей уравнения:

$$-2\cos^2(2x) - 3\cos(2x) = 0$$

Умножим обе части на -1, чтобы получить более удобный вид:

$$2\cos^2(2x) + 3\cos(2x) = 0$$

Вынесем общий множитель $\cos(2x)$ за скобки:

$$\cos(2x)(2\cos(2x) + 3) = 0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

1) $\cos(2x) = 0$

2) $2\cos(2x) + 3 = 0 \implies \cos(2x) = -\frac{3}{2}$

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

Уравнение 2) $\cos(2x) = -\frac{3}{2}$ не имеет решений, так как область значений функции косинус находится в промежутке $[-1, 1]$, а значение $-\frac{3}{2}$ (то есть -1.5) в этот промежуток не входит.

Решим уравнение 1) $\cos(2x) = 0$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решения которого имеют вид:

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$$

По условию задачи, нам нужно найти наименьший положительный корень. Для этого будем подставлять различные целые значения $n$ в полученную формулу для $x$.

При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi (-1)}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$. Этот корень является отрицательным.

При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = \frac{\pi}{4}$. Этот корень является положительным.

При $n = 1$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot 1}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Этот корень также положительный, но он больше, чем $\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, наименьший положительный корень уравнения достигается при $n=0$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$