Номер 30.13, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.13. Решите уравнение:

1) $4\cos x \sin x = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x;$

2) $3\cos x + 2\operatorname{tg} x = 0;$

3) $8\sin^2 x + 4\sin^2 2x + 8\cos 2x = 5;$

4) $3 + 5\cos x = \sin^4 x - \cos^4 x;$

5) $\cos 2x - 9\cos x + 6 = 4\sin^2 \frac{x}{2}.$

1) $4\cos x \sin x = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс и котангенс определены, когда $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$. Это эквивалентно условию $\sin x \cos x \neq 0$, или $\frac{1}{2}\sin(2x) \neq 0$, то есть $\sin(2x) \neq 0$. Отсюда $2x \neq \pi n$, значит $x \neq \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем левую и правую части уравнения, используя тригонометрические формулы.

Левая часть: по формуле синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:
$4\cos x \sin x = 2 \cdot (2\sin x \cos x) = 2\sin(2x)$.

Правая часть: представим тангенс и котангенс через синус и косинус и приведем к общему знаменателю:
$\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла, получаем:
$\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin(2x)}$.

Теперь исходное уравнение принимает вид:
$2\sin(2x) = \frac{2}{\sin(2x)}$.

Умножим обе части на $\sin(2x)$, так как из ОДЗ мы знаем, что $\sin(2x) \neq 0$:
$2\sin^2(2x) = 2$
$\sin^2(2x) = 1$.

Отсюда $\sin(2x) = 1$ или $\sin(2x) = -1$.
Эти два случая можно объединить в один:
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим на 2, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Полученные решения не совпадают с ограничениями ОДЗ ($x \neq \frac{\pi k}{2}$).

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $3\cos x + 2\operatorname{tg} x = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$:
$3\cos x + 2\frac{\sin x}{\cos x} = 0$.

Умножим всё уравнение на $\cos x$, так как по ОДЗ $\cos x \neq 0$:
$3\cos^2 x + 2\sin x = 0$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции:
$3(1 - \sin^2 x) + 2\sin x = 0$
$3 - 3\sin^2 x + 2\sin x = 0$
$3\sin^2 x - 2\sin x - 3 = 0$.

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. Получим квадратное уравнение:
$3t^2 - 2t - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 4 + 36 = 40$.
Корни уравнения: $t = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{3}$.

Получаем два значения для $t$:
$t_1 = \frac{1 + \sqrt{10}}{3}$. Так как $\sqrt{10} > \sqrt{9} = 3$, то $1+\sqrt{10} > 4$, и $t_1 > \frac{4}{3} > 1$. Этот корень не подходит, так как $|\sin x| \le 1$.
$t_2 = \frac{1 - \sqrt{10}}{3}$. Так как $3 < \sqrt{10} < 4$, то $-3 < 1-\sqrt{10} < -2$, и $-1 < t_2 < -\frac{2}{3}$. Этот корень подходит.

Возвращаемся к замене: $\sin x = \frac{1 - \sqrt{10}}{3}$.

Решение этого простейшего тригонометрического уравнения:
$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{10}}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{10}}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $8\sin^2 x + 4\sin^2 2x + 8\cos 2x = 5$

Используем формулы понижения степени и двойного угла, чтобы выразить все через $\cos(2x)$:
$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$
$\sin^2(2x) = 1 - \cos^2(2x)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$8\left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right) + 4(1 - \cos^2(2x)) + 8\cos(2x) = 5$
$4(1 - \cos(2x)) + 4 - 4\cos^2(2x) + 8\cos(2x) = 5$
$4 - 4\cos(2x) + 4 - 4\cos^2(2x) + 8\cos(2x) = 5$.

Приведем подобные слагаемые:
$-4\cos^2(2x) + 4\cos(2x) + 8 = 5$
$-4\cos^2(2x) + 4\cos(2x) + 3 = 0$
$4\cos^2(2x) - 4\cos(2x) - 3 = 0$.

Сделаем замену $t = \cos(2x)$, где $|t| \le 1$:
$4t^2 - 4t - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.
Корни: $t = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm 8}{8}$.

Получаем два значения для $t$:
$t_1 = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$. Этот корень не подходит, так как $\frac{3}{2} > 1$.
$t_2 = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$. Этот корень подходит.

Возвращаемся к замене: $\cos(2x) = -\frac{1}{2}$.

Решаем это уравнение:
$2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $3 + 5\cos x = \sin^4 x - \cos^4 x$

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$:
$(\sin^2 x - \cos^2 x) \cdot 1 = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$.

Уравнение принимает вид:
$3 + 5\cos x = -\cos(2x)$.

Теперь используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$, чтобы выразить всё через $\cos x$:
$3 + 5\cos x = -(2\cos^2 x - 1)$
$3 + 5\cos x = -2\cos^2 x + 1$.

Переносим все члены в левую часть:
$2\cos^2 x + 5\cos x + 2 = 0$.

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$:
$2t^2 + 5t + 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни: $t = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 3}{4}$.

Получаем два значения для $t$:
$t_1 = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$. Этот корень подходит.
$t_2 = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$. Этот корень не подходит, так как $-2 < -1$.

Возвращаемся к замене: $\cos x = -\frac{1}{2}$.

$x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) $\cos 2x - 9\cos x + 6 = 4\sin^2\frac{x}{2}$

Приведем все функции к аргументу $x$ и выразим их через $\cos x$.
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$.
Используем формулу понижения степени (или половинного угла): $\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$.

Подставляем в уравнение:
$(2\cos^2 x - 1) - 9\cos x + 6 = 4\left(\frac{1 - \cos x}{2}\right)$
$2\cos^2 x - 9\cos x + 5 = 2(1 - \cos x)$
$2\cos^2 x - 9\cos x + 5 = 2 - 2\cos x$.

Переносим все члены в левую часть и приводим подобные:
$2\cos^2 x - 9\cos x + 2\cos x + 5 - 2 = 0$
$2\cos^2 x - 7\cos x + 3 = 0$.

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$:
$2t^2 - 7t + 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.
Корни: $t = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4}$.

Получаем два значения для $t$:
$t_1 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$. Этот корень не подходит, так как $3 > 1$.
$t_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Этот корень подходит.

Возвращаемся к замене: $\cos x = \frac{1}{2}$.

$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.