Номер 30.19, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.19. Найдите все корни уравнения $2\cos^2x = \sin x$, удовлетворяющие неравенству $\frac{\pi}{2} < x < \pi$.

Исходное уравнение: $2\cos^2x = \sin x$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2x + \cos^2x = 1$, откуда $\cos^2x = 1 - \sin^2x$. Подставим это в уравнение:

$2(1 - \sin^2x) = \sin x$

Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\sin x$:

$2 - 2\sin^2x = \sin x$

$2\sin^2x + \sin x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $t = \sin x$. Так как область значений синуса $[-1, 1]$, то $-1 \le t \le 1$. Уравнение примет вид:

$2t^2 + t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение по формуле корней:

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}$

Получаем два потенциальных значения для $\sin x$:

1) $\sin x = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$. Оценим это значение. Так как $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$, то $4 < \sqrt{17} < 5$. Следовательно, $3 < -1 + \sqrt{17} < 4$, и $\frac{3}{4} < \frac{-1 + \sqrt{17}}{4} < 1$. Поскольку это значение находится в интервале $[-1, 1]$, у уравнения есть корни.

2) $\sin x = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$. Так как $\sqrt{17} > 4$, то $-1 - \sqrt{17} < -5$, и $\frac{-1 - \sqrt{17}}{4} < \frac{-5}{4} = -1.25$. Это значение меньше -1, поэтому оно не входит в область значений функции синус. Корней в этом случае нет.

Таким образом, мы ищем решения уравнения $\sin x = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$, которые удовлетворяют неравенству $\frac{\pi}{2} < x < \pi$.

Общее решение уравнения $\sin x = a$ дается формулой $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $a = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$ — положительное число, поэтому главный корень $\alpha = \arcsin\left(\frac{-1 + \sqrt{17}}{4}\right)$ находится в первой четверти, то есть $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Общие решения можно разбить на две серии: первая серия $x = \alpha + 2\pi k$ (для четных $k$) и вторая серия $x = \pi - \alpha + 2\pi k$ (для нечетных $k$).

Теперь выберем корень из заданного интервала $(\frac{\pi}{2}, \pi)$.

Корни первой серии $x = \alpha + 2\pi k$ не подходят. При $k=0$ корень $x = \alpha$ лежит в первой четверти $(0, \frac{\pi}{2})$. При других целых $k$ корни также не попадут в искомый интервал.

Рассмотрим корни второй серии $x = \pi - \alpha + 2\pi k$. При $k=0$ получаем $x = \pi - \alpha$. Поскольку $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то $\pi - \frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi$, то есть $\frac{\pi}{2} < x < \pi$. Этот корень нам подходит. При других целых $k$ (например, $k=1$ или $k=-1$) корни будут выходить за пределы заданного интервала.

Единственный корень, удовлетворяющий условию, это $x = \pi - \arcsin\left(\frac{-1 + \sqrt{17}}{4}\right)$.

Ответ: $x = \pi - \arcsin\left(\frac{-1 + \sqrt{17}}{4}\right)$