Страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.10. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $ \sin^2 x + 0,5 \sin 2x = 1 $.

Для решения данного уравнения выполним следующие преобразования.

Исходное уравнение:

$\sin^2 x + 0,5\sin 2x = 1$

Преобразование уравнения

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$\sin^2 x + 0,5(2\sin x \cos x) = 1$

$\sin^2 x + \sin x \cos x = 1$

Далее, используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$, чтобы заменить единицу в правой части уравнения:

$\sin^2 x + \sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x$

Сократим $\sin^2 x$ в обеих частях уравнения:

$\sin x \cos x = \cos^2 x$

Нахождение общих решений

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$\sin x \cos x - \cos^2 x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\sin x - \cos x) = 0$

Это уравнение распадается на два независимых уравнения, поскольку произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $\cos x = 0$

2) $\sin x - \cos x = 0$

Решим каждое уравнение отдельно.

Для первого уравнения $\cos x = 0$, решениями являются:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Для второго уравнения $\sin x - \cos x = 0$, преобразуем его к виду $\sin x = \cos x$. Заметим, что $\cos x$ не может быть равен нулю, так как в этом случае и $\sin x$ был бы равен нулю, что противоречит тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Поэтому мы можем разделить обе части на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} = 1$

$\tan x = 1$

Решениями этого уравнения являются:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Нахождение наибольшего отрицательного корня

Теперь необходимо найти самый большой (ближайший к нулю) отрицательный корень из двух полученных серий решений.

Рассмотрим первую серию корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$:

• При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$ (положительный).
• При $k = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$.
• При $k = -2$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$ (меньше, чем $-\frac{\pi}{2}$).

Наибольший отрицательный корень из этой серии — это $-\frac{\pi}{2}$.

Рассмотрим вторую серию корней $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$:

• При $n = 0$, $x = \frac{\pi}{4}$ (положительный).
• При $n = -1$, $x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$.
• При $n = -2$, $x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}$ (меньше, чем $-\frac{3\pi}{4}$).

Наибольший отрицательный корень из этой серии — это $-\frac{3\pi}{4}$.

Сравним два найденных отрицательных корня: $-\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{3\pi}{4}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 4: $-\frac{\pi}{2} = -\frac{2\pi}{4}$.

Поскольку $-2 > -3$, то $-\frac{2\pi}{4} > -\frac{3\pi}{4}$.

Следовательно, наибольший отрицательный корень уравнения — это $-\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$

30.11. Найдите наименьший положительный корень уравнения $6\sin^2x + 2\sin^2(2x) = 5.$

Исходное уравнение:

$$6\sin^2x + 2\sin^22x = 5$$

Для решения этого уравнения преобразуем его, используя тригонометрические формулы. Воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$.

Применим эту формулу к члену $6\sin^2x$:

$$6 \cdot \frac{1-\cos(2x)}{2} + 2\sin^22x = 5$$

$$3(1-\cos(2x)) + 2\sin^22x = 5$$

$$3 - 3\cos(2x) + 2\sin^22x = 5$$

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $\sin^2(2x) = 1 - \cos^2(2x)$. Подставим это выражение в уравнение:

$$3 - 3\cos(2x) + 2(1 - \cos^2(2x)) = 5$$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$3 - 3\cos(2x) + 2 - 2\cos^2(2x) = 5$$

$$5 - 3\cos(2x) - 2\cos^2(2x) = 5$$

Вычтем 5 из обеих частей уравнения:

$$-2\cos^2(2x) - 3\cos(2x) = 0$$

Умножим обе части на -1, чтобы получить более удобный вид:

$$2\cos^2(2x) + 3\cos(2x) = 0$$

Вынесем общий множитель $\cos(2x)$ за скобки:

$$\cos(2x)(2\cos(2x) + 3) = 0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

1) $\cos(2x) = 0$

2) $2\cos(2x) + 3 = 0 \implies \cos(2x) = -\frac{3}{2}$

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

Уравнение 2) $\cos(2x) = -\frac{3}{2}$ не имеет решений, так как область значений функции косинус находится в промежутке $[-1, 1]$, а значение $-\frac{3}{2}$ (то есть -1.5) в этот промежуток не входит.

Решим уравнение 1) $\cos(2x) = 0$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решения которого имеют вид:

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$$

По условию задачи, нам нужно найти наименьший положительный корень. Для этого будем подставлять различные целые значения $n$ в полученную формулу для $x$.

При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi (-1)}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$. Этот корень является отрицательным.

При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = \frac{\pi}{4}$. Этот корень является положительным.

При $n = 1$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot 1}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Этот корень также положительный, но он больше, чем $\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, наименьший положительный корень уравнения достигается при $n=0$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

30.12. Найдите наименьший положительный корень уравнения $ \sin x \cos x + \cos^2 x = 0 $.

Дано тригонометрическое уравнение: $\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Для решения вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки: $\cos x (\sin x + \cos x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух уравнений:

1) $\cos x = 0$
Решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Нам нужно найти наименьший положительный корень. Переберем значения $n$:
При $n = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Это положительный корень.
При $n = 1$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$.
При $n = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$ (не является положительным).
Наименьший положительный корень из этой серии — $x = \frac{\pi}{2}$.

2) $\sin x + \cos x = 0$
Перенесем $\cos x$ в правую часть: $\sin x = -\cos x$
Заметим, что в этом уравнении $\cos x \ne 0$, так как если бы $\cos x = 0$, то и $\sin x$ должен был бы быть равен нулю, что невозможно одновременно, поскольку $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$: $\frac{\sin x}{\cos x} = -1$ $\tan x = -1$
Решениями этого уравнения являются $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем наименьший положительный корень из этой серии, перебирая значения $k$:
При $k = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$ (не является положительным).
При $k = 1$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$. Это положительный корень.
При $k = 2$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$.
Наименьший положительный корень из этой серии — $x = \frac{3\pi}{4}$.

Теперь сравним наименьшие положительные корни, полученные из обоих случаев: $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{4}$.
$\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4}$.
Так как $\frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$, то наименьшим положительным корнем исходного уравнения является $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

30.13. Решите уравнение:

1) $4\cos x \sin x = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x;$

2) $3\cos x + 2\operatorname{tg} x = 0;$

3) $8\sin^2 x + 4\sin^2 2x + 8\cos 2x = 5;$

4) $3 + 5\cos x = \sin^4 x - \cos^4 x;$

5) $\cos 2x - 9\cos x + 6 = 4\sin^2 \frac{x}{2}.$

1) $4\cos x \sin x = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс и котангенс определены, когда $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$. Это эквивалентно условию $\sin x \cos x \neq 0$, или $\frac{1}{2}\sin(2x) \neq 0$, то есть $\sin(2x) \neq 0$. Отсюда $2x \neq \pi n$, значит $x \neq \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем левую и правую части уравнения, используя тригонометрические формулы.

Левая часть: по формуле синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:
$4\cos x \sin x = 2 \cdot (2\sin x \cos x) = 2\sin(2x)$.

Правая часть: представим тангенс и котангенс через синус и косинус и приведем к общему знаменателю:
$\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла, получаем:
$\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin(2x)}$.

Теперь исходное уравнение принимает вид:
$2\sin(2x) = \frac{2}{\sin(2x)}$.

Умножим обе части на $\sin(2x)$, так как из ОДЗ мы знаем, что $\sin(2x) \neq 0$:
$2\sin^2(2x) = 2$
$\sin^2(2x) = 1$.

Отсюда $\sin(2x) = 1$ или $\sin(2x) = -1$.
Эти два случая можно объединить в один:
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим на 2, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Полученные решения не совпадают с ограничениями ОДЗ ($x \neq \frac{\pi k}{2}$).

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $3\cos x + 2\operatorname{tg} x = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$:
$3\cos x + 2\frac{\sin x}{\cos x} = 0$.

Умножим всё уравнение на $\cos x$, так как по ОДЗ $\cos x \neq 0$:
$3\cos^2 x + 2\sin x = 0$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции:
$3(1 - \sin^2 x) + 2\sin x = 0$
$3 - 3\sin^2 x + 2\sin x = 0$
$3\sin^2 x - 2\sin x - 3 = 0$.

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. Получим квадратное уравнение:
$3t^2 - 2t - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 4 + 36 = 40$.
Корни уравнения: $t = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{3}$.

Получаем два значения для $t$:
$t_1 = \frac{1 + \sqrt{10}}{3}$. Так как $\sqrt{10} > \sqrt{9} = 3$, то $1+\sqrt{10} > 4$, и $t_1 > \frac{4}{3} > 1$. Этот корень не подходит, так как $|\sin x| \le 1$.
$t_2 = \frac{1 - \sqrt{10}}{3}$. Так как $3 < \sqrt{10} < 4$, то $-3 < 1-\sqrt{10} < -2$, и $-1 < t_2 < -\frac{2}{3}$. Этот корень подходит.

Возвращаемся к замене: $\sin x = \frac{1 - \sqrt{10}}{3}$.

Решение этого простейшего тригонометрического уравнения:
$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{10}}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{10}}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $8\sin^2 x + 4\sin^2 2x + 8\cos 2x = 5$

Используем формулы понижения степени и двойного угла, чтобы выразить все через $\cos(2x)$:
$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$
$\sin^2(2x) = 1 - \cos^2(2x)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$8\left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right) + 4(1 - \cos^2(2x)) + 8\cos(2x) = 5$
$4(1 - \cos(2x)) + 4 - 4\cos^2(2x) + 8\cos(2x) = 5$
$4 - 4\cos(2x) + 4 - 4\cos^2(2x) + 8\cos(2x) = 5$.

Приведем подобные слагаемые:
$-4\cos^2(2x) + 4\cos(2x) + 8 = 5$
$-4\cos^2(2x) + 4\cos(2x) + 3 = 0$
$4\cos^2(2x) - 4\cos(2x) - 3 = 0$.

Сделаем замену $t = \cos(2x)$, где $|t| \le 1$:
$4t^2 - 4t - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.
Корни: $t = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm 8}{8}$.

Получаем два значения для $t$:
$t_1 = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$. Этот корень не подходит, так как $\frac{3}{2} > 1$.
$t_2 = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$. Этот корень подходит.

Возвращаемся к замене: $\cos(2x) = -\frac{1}{2}$.

Решаем это уравнение:
$2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $3 + 5\cos x = \sin^4 x - \cos^4 x$

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$:
$(\sin^2 x - \cos^2 x) \cdot 1 = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$.

Уравнение принимает вид:
$3 + 5\cos x = -\cos(2x)$.

Теперь используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$, чтобы выразить всё через $\cos x$:
$3 + 5\cos x = -(2\cos^2 x - 1)$
$3 + 5\cos x = -2\cos^2 x + 1$.

Переносим все члены в левую часть:
$2\cos^2 x + 5\cos x + 2 = 0$.

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$:
$2t^2 + 5t + 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни: $t = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 3}{4}$.

Получаем два значения для $t$:
$t_1 = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$. Этот корень подходит.
$t_2 = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$. Этот корень не подходит, так как $-2 < -1$.

Возвращаемся к замене: $\cos x = -\frac{1}{2}$.

$x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) $\cos 2x - 9\cos x + 6 = 4\sin^2\frac{x}{2}$

Приведем все функции к аргументу $x$ и выразим их через $\cos x$.
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$.
Используем формулу понижения степени (или половинного угла): $\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$.

Подставляем в уравнение:
$(2\cos^2 x - 1) - 9\cos x + 6 = 4\left(\frac{1 - \cos x}{2}\right)$
$2\cos^2 x - 9\cos x + 5 = 2(1 - \cos x)$
$2\cos^2 x - 9\cos x + 5 = 2 - 2\cos x$.

Переносим все члены в левую часть и приводим подобные:
$2\cos^2 x - 9\cos x + 2\cos x + 5 - 2 = 0$
$2\cos^2 x - 7\cos x + 3 = 0$.

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$:
$2t^2 - 7t + 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.
Корни: $t = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4}$.

Получаем два значения для $t$:
$t_1 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$. Этот корень не подходит, так как $3 > 1$.
$t_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Этот корень подходит.

Возвращаемся к замене: $\cos x = \frac{1}{2}$.

$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

30.14. Решите уравнение:

1) $4\cot x - 5\sin x = 0;$

2) $4\sin^2 2x + 7\cos 2x - 2\sin^2 x = 6;$

3) $7 + 2\sin 2x + 1.5(\tan x + \cot x) = 0;$

4) $\sin^2 x = \cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2};$

5) $2\cos 4x - 2\cos^2 x = 3\cos 2x.$

1) $4\operatorname{ctg} x - 5\sin x = 0$
Область допустимых значений (ОДЗ): $\operatorname{ctg} x$ определен, если $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Заменим $\operatorname{ctg} x$ на $\frac{\cos x}{\sin x}$:
$4\frac{\cos x}{\sin x} - 5\sin x = 0$
Умножим обе части уравнения на $\sin x$ (так как по ОДЗ $\sin x \neq 0$):
$4\cos x - 5\sin^2 x = 0$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:
$4\cos x - 5(1 - \cos^2 x) = 0$
$4\cos x - 5 + 5\cos^2 x = 0$
$5\cos^2 x + 4\cos x - 5 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.
$5t^2 + 4t - 5 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 16 + 100 = 116$
$\sqrt{D} = \sqrt{116} = \sqrt{4 \cdot 29} = 2\sqrt{29}$
$t_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{29}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{29}}{5}$
Проверим корни на принадлежность отрезку $[-1, 1]$:
$t_1 = \frac{-2 + \sqrt{29}}{5}$. Так как $5^2=25$ и $6^2=36$, то $5 < \sqrt{29} < 6$. Тогда $3 < -2 + \sqrt{29} < 4$, и $\frac{3}{5} < \frac{-2 + \sqrt{29}}{5} < \frac{4}{5}$. Этот корень подходит, так как $|t_1| < 1$.
$t_2 = \frac{-2 - \sqrt{29}}{5}$. Так как $-6 < -\sqrt{29} < -5$, то $-8 < -2 - \sqrt{29} < -7$, и $-1.6 < \frac{-2 - \sqrt{29}}{5} < -1.4$. Этот корень не подходит, так как $t_2 < -1$.
Возвращаемся к замене:
$\cos x = \frac{\sqrt{29}-2}{5}$
Решением этого уравнения является $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{29}-2}{5}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как $\cos x \neq \pm 1$.
Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{29}-2}{5}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $4\sin^2{2x} + 7\cos{2x} - 2\sin^2{x} = 6$
Приведем все тригонометрические функции к одному аргументу $2x$. Используем формулы: $\sin^2{2x} = 1 - \cos^2{2x}$ и формулу понижения степени $2\sin^2{x} = 1 - \cos{2x}$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$4(1 - \cos^2{2x}) + 7\cos{2x} - (1 - \cos{2x}) = 6$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$4 - 4\cos^2{2x} + 7\cos{2x} - 1 + \cos{2x} = 6$
$-4\cos^2{2x} + 8\cos{2x} + 3 = 6$
$-4\cos^2{2x} + 8\cos{2x} - 3 = 0$
$4\cos^2{2x} - 8\cos{2x} + 3 = 0$
Сделаем замену $t = \cos{2x}$, где $|t| \le 1$.
$4t^2 - 8t + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$
$t_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm 4}{8}$
$t_1 = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$. Этот корень не подходит, так как $1.5 > 1$.
$t_2 = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Этот корень подходит.
Возвращаемся к замене:
$\cos{2x} = \frac{1}{2}$
$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
Разделим на 2, чтобы найти $x$:
$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $7 + 2\sin{2x} + 1.5(\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x) = 0$
ОДЗ: $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$ должны быть определены, значит $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$. Это эквивалентно $\sin{2x} \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Упростим выражение в скобках:
$\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin{2x}} = \frac{2}{\sin{2x}}$
Подставим это в уравнение:
$7 + 2\sin{2x} + 1.5 \left(\frac{2}{\sin{2x}}\right) = 0$
$7 + 2\sin{2x} + \frac{3}{\sin{2x}} = 0$
Сделаем замену $t = \sin{2x}$, где $|t| \le 1$ и $t \neq 0$.
$7 + 2t + \frac{3}{t} = 0$
Умножим на $t$ (так как $t \neq 0$):
$2t^2 + 7t + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$
$t_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 5}{4}$
$t_1 = \frac{-7 + 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$. Этот корень подходит.
$t_2 = \frac{-7 - 5}{4} = \frac{-12}{4} = -3$. Этот корень не подходит, так как $-3 < -1$.
Возвращаемся к замене:
$\sin{2x} = -\frac{1}{2}$
$2x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$2x = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k$
$2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
Это решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin^2 x = \cos^4{\frac{x}{2}} - \sin^4{\frac{x}{2}}$
Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\cos^4{\frac{x}{2}} - \sin^4{\frac{x}{2}} = \left(\cos^2{\frac{x}{2}} - \sin^2{\frac{x}{2}}\right)\left(\cos^2{\frac{x}{2}} + \sin^2{\frac{x}{2}}\right)$
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos{2\alpha} = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\left(\cos^2{\frac{x}{2}} - \sin^2{\frac{x}{2}}\right)\left(\cos^2{\frac{x}{2}} + \sin^2{\frac{x}{2}}\right) = (\cos x) \cdot 1 = \cos x$
Уравнение принимает вид:
$\sin^2 x = \cos x$
Заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$:
$1 - \cos^2 x = \cos x$
$\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.
$t^2 + t - 1 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$
$t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$. Так как $2 < \sqrt{5} < 3$, то $1 < -1 + \sqrt{5} < 2$, и $0.5 < \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} < 1$. Этот корень подходит.
$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1 - 2.236}{2} \approx -1.618$. Этот корень не подходит, так как он меньше -1.
Возвращаемся к замене:
$\cos x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
$x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) $2\cos{4x} - 2\cos^2{x} = 3\cos{2x}$
Приведем все функции к аргументу $2x$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos{4x} = 2\cos^2{2x} - 1$ и формулу понижения степени $2\cos^2{x} = 1 + \cos{2x}$.
Подставим выражения в уравнение:
$2(2\cos^2{2x} - 1) - (1 + \cos{2x}) = 3\cos{2x}$
Раскроем скобки и упростим:
$4\cos^2{2x} - 2 - 1 - \cos{2x} = 3\cos{2x}$
$4\cos^2{2x} - \cos{2x} - 3 = 3\cos{2x}$
$4\cos^2{2x} - 4\cos{2x} - 3 = 0$
Сделаем замену $t = \cos{2x}$, где $|t| \le 1$.
$4t^2 - 4t - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$
$t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm 8}{8}$
$t_1 = \frac{4+8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$. Этот корень не подходит.
$t_2 = \frac{4-8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$. Этот корень подходит.
Возвращаемся к замене:
$\cos{2x} = -\frac{1}{2}$
$2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

30.15. Решите уравнение:

1) $3\sin x - 8\cos x = 3$;

2) $2\sin x - 5\cos x = 3$.

1) $3\sin x - 8\cos x = 3$

Данное уравнение вида $a\sin x + b\cos x = c$ решается с помощью универсальной тригонометрической подстановки. Введем замену $t = \tan(x/2)$. В этом случае $\sin x$ и $\cos x$ выражаются через $t$ следующим образом:

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

Эта подстановка определена для всех $x$, кроме $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Поэтому необходимо отдельно проверить, являются ли эти значения $x$ корнями исходного уравнения. При $x = \pi + 2\pi k$ имеем $\sin x = 0$ и $\cos x = -1$. Подставим в уравнение:

$3 \cdot 0 - 8 \cdot (-1) = 3$

$8 = 3$

Равенство неверное, следовательно, $x = \pi + 2\pi k$ не являются решениями.

Теперь подставим выражения для синуса и косинуса в уравнение:

$3 \left( \frac{2t}{1+t^2} \right) - 8 \left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right) = 3$

Умножим обе части уравнения на $(1+t^2)$, так как $1+t^2 > 0$ при любом $t$:

$6t - 8(1-t^2) = 3(1+t^2)$

$6t - 8 + 8t^2 = 3 + 3t^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$5t^2 + 6t - 11 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Заметим, что сумма его коэффициентов равна нулю: $5+6-11 = 0$. Это означает, что один из корней равен $1$, а второй, по теореме Виета, равен $\frac{c}{a}$.

$t_1 = 1$

$t_2 = \frac{-11}{5}$

Теперь выполним обратную замену для каждого корня:

1. Для $t_1 = 1$:

$\tan(x/2) = 1$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2. Для $t_2 = -11/5$:

$\tan(x/2) = -\frac{11}{5}$

$\frac{x}{2} = \arctan\left(-\frac{11}{5}\right) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$

$x = 2\arctan\left(-\frac{11}{5}\right) + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = 2\arctan\left(-\frac{11}{5}\right) + 2\pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin x - 5\cos x = 3$

Для решения этого уравнения также воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой $t = \tan(x/2)$.

Проверим случай $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $\sin x = 0$ и $\cos x = -1$.

$2 \cdot 0 - 5 \cdot (-1) = 3$

$5 = 3$

Равенство неверное, значит, эти значения не являются корнями уравнения.

Выполним подстановку $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ в уравнение:

$2 \left( \frac{2t}{1+t^2} \right) - 5 \left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right) = 3$

Умножим обе части на $(1+t^2)$:

$4t - 5(1-t^2) = 3(1+t^2)$

$4t - 5 + 5t^2 = 3 + 3t^2$

Приведем подобные, чтобы получить квадратное уравнение:

$2t^2 + 4t - 8 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$t^2 + 2t - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$

Корни уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$

Получаем два значения для $t$:

$t_1 = -1 + \sqrt{5}$

$t_2 = -1 - \sqrt{5}$

Выполним обратную замену:

1. Для $t_1 = -1 + \sqrt{5}$:

$\tan(x/2) = \sqrt{5}-1$

$\frac{x}{2} = \arctan(\sqrt{5}-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\arctan(\sqrt{5}-1) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2. Для $t_2 = -1 - \sqrt{5}$:

$\tan(x/2) = -1 - \sqrt{5}$

$\frac{x}{2} = \arctan(-1 - \sqrt{5}) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$

$x = 2\arctan(-1 - \sqrt{5}) + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\arctan(\sqrt{5}-1) + 2\pi n, \quad x = 2\arctan(-1-\sqrt{5}) + 2\pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

30.16. Решите уравнение:

1) $3\sin x + 5\cos x = -3;$

2) $3\sqrt{3} \sin x - 5\cos x = 7.$

Для решения уравнения $3\sin x + 5\cos x = -3$, которое является линейным тригонометрическим уравнением вида $a\sin x + b\cos x = c$, воспользуемся методом универсальной тригонометрической подстановки.

Пусть $t = \tan(x/2)$. Тогда $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$. Эта подстановка справедлива для всех $x$, для которых $\tan(x/2)$ определен, то есть при $x \neq \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение: $3\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) + 5\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = -3$

Умножим обе части уравнения на $1+t^2$ (это выражение всегда больше нуля): $6t + 5(1-t^2) = -3(1+t^2)$
$6t + 5 - 5t^2 = -3 - 3t^2$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $0 = 5t^2 - 3t^2 - 6t - 3 - 5$
$2t^2 - 6t - 8 = 0$
Разделим обе части на 2: $t^2 - 3t - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Следовательно, корни уравнения: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1. При $t = 4$:
$\tan(x/2) = 4$
$x/2 = \arctan 4 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = 2\arctan 4 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. При $t = -1$:
$\tan(x/2) = -1$
$x/2 = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Необходимо проверить, не являются ли решениями значения $x = \pi + 2\pi k$, которые были исключены при подстановке. Подставим $x = \pi$ в исходное уравнение: $3\sin\pi + 5\cos\pi = 3 \cdot 0 + 5 \cdot (-1) = -5$.
Так как $-5 \neq -3$, эти значения не являются корнями уравнения.

Ответ: $2\arctan 4 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решим уравнение $3\sqrt{3}\sin x - 5\cos x = 7$ также с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

Пусть $t = \tan(x/2)$, тогда $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ (при $x \neq \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$).

Подставим выражения в уравнение: $3\sqrt{3}\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) - 5\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = 7$

Умножим обе части на $1+t^2$: $6\sqrt{3}t - 5(1-t^2) = 7(1+t^2)$
$6\sqrt{3}t - 5 + 5t^2 = 7 + 7t^2$
$2t^2 - 6\sqrt{3}t + 12 = 0$
Разделим уравнение на 2: $t^2 - 3\sqrt{3}t + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-3\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 27 - 24 = 3$.
Корни уравнения: $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3\sqrt{3} \pm \sqrt{3}}{2}$.
$t_1 = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
$t_2 = \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.

Вернемся к переменной $x$:

1. При $t = \sqrt{3}$:
$\tan(x/2) = \sqrt{3}$
$x/2 = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. При $t = 2\sqrt{3}$:
$\tan(x/2) = 2\sqrt{3}$
$x/2 = \arctan(2\sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = 2\arctan(2\sqrt{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Проверим исключенные значения $x = \pi + 2\pi k$. Подставим $x = \pi$ в исходное уравнение: $3\sqrt{3}\sin\pi - 5\cos\pi = 3\sqrt{3} \cdot 0 - 5 \cdot (-1) = 5$.
Так как $5 \neq 7$, значения $x = \pi + 2\pi k$ не являются решениями.

Ответ: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $2\arctan(2\sqrt{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

30.17. Сколько корней уравнения $cos 2x + sin x = cos^2 x$ принадлежат промежутку $[-\pi; \pi]$?

Для решения данного тригонометрического уравнения $ \cos(2x) + \sin x = \cos^2 x $ необходимо привести его к уравнению относительно одной тригонометрической функции. Удобнее всего выразить все члены уравнения через $ \sin x $.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x $ и основным тригонометрическим тождеством $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $. Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(1 - 2\sin^2 x) + \sin x = 1 - \sin^2 x$

Теперь перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и упростим его:

$1 - 2\sin^2 x + \sin x - 1 + \sin^2 x = 0$

$-\sin^2 x + \sin x = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от знака "минус" при старшем члене:

$\sin^2 x - \sin x = 0$

Вынесем общий множитель $ \sin x $ за скобки:

$\sin x (\sin x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два простых уравнения:

1) $ \sin x = 0 $

2) $ \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1 $

Найдем общие решения для каждого из этих уравнений.

Для $ \sin x = 0 $ решениями является серия корней $ x = \pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Для $ \sin x = 1 $ решениями является серия корней $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n $ — любое целое число ($ n \in \mathbb{Z} $).

Далее необходимо отобрать те корни, которые принадлежат заданному промежутку $ [-\pi; \pi] $.

Для серии корней $ x = \pi k $:

Решим неравенство $ -\pi \le \pi k \le \pi $. Разделив все его части на $ \pi $, получим $ -1 \le k \le 1 $. Поскольку $ k $ — целое число, его возможные значения: -1, 0, 1. Найдем соответствующие значения $ x $:

• При $ k = -1 \implies x = -\pi $
• При $ k = 0 \implies x = 0 $
• При $ k = 1 \implies x = \pi $

Все три корня ($-\pi, 0, \pi$) входят в заданный промежуток.

Для серии корней $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $:

Решим неравенство $ -\pi \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n \le \pi $. Вычтем $ \frac{\pi}{2} $ из всех частей:

$-\pi - \frac{\pi}{2} \le 2\pi n \le \pi - \frac{\pi}{2}$

$-\frac{3\pi}{2} \le 2\pi n \le \frac{\pi}{2}$

Разделим все части на $ 2\pi $:

$-\frac{3}{4} \le n \le \frac{1}{4}$

Единственное целое число $ n $, удовлетворяющее этому неравенству, — это $ n = 0 $. Найдем соответствующее значение $ x $:

• При $ n = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2} $

Этот корень ($ \frac{\pi}{2} $) также входит в заданный промежуток.

Таким образом, на промежутке $ [-\pi; \pi] $ уравнение имеет следующие корни: $ -\pi, 0, \pi, \frac{\pi}{2} $. Всего их 4.

Ответ: 4

30.18. Найдите сумму корней уравнения $2\sin^2x + 7\cos x + 2 = 0$, принадлежащих промежутку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Для решения данного тригонометрического уравнения $2\sin^2x + 7\cos x + 2 = 0$ необходимо привести его к одной тригонометрической функции. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2x + \cos^2x = 1$, из которого выразим $\sin^2x = 1 - \cos^2x$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $2(1 - \cos^2x) + 7\cos x + 2 = 0$ $2 - 2\cos^2x + 7\cos x + 2 = 0$ $-2\cos^2x + 7\cos x + 4 = 0$ Домножим уравнение на $-1$, чтобы коэффициент при старшей степени был положительным: $2\cos^2x - 7\cos x - 4 = 0$

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно $\cos x$. Произведем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Учитывая, что область значений функции косинус лежит в пределах от $-1$ до $1$, должно выполняться условие $-1 \le t \le 1$. Уравнение в новых переменных будет выглядеть так: $2t^2 - 7t - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$ Теперь найдем корни уравнения для $t$: $t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$ $t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Выполним обратную замену. Для $t_1 = 4$ получаем уравнение $\cos x = 4$. Это уравнение не имеет решений, так как $4 > 1$, что не входит в область значений косинуса. Для $t_2 = -\frac{1}{2}$ получаем уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$. Этот корень удовлетворяет условию $-1 \le -\frac{1}{2} \le 1$.

Решим уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$. Общее решение этого уравнения: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Теперь необходимо отобрать корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$. Рассмотрим первую серию корней: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

• При $n=0$: $x = \frac{2\pi}{3}$. Этот корень принадлежит промежутку, так как $-\frac{\pi}{2} \le \frac{2\pi}{3} \le \frac{3\pi}{2}$ ($-0.5\pi \le 0.66...\pi \le 1.5\pi$).
• При $n=1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$, что больше $\frac{3\pi}{2}$.
• При $n=-1$: $x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$, что меньше $-\frac{\pi}{2}$.

• При $n=0$: $x = -\frac{2\pi}{3}$. Этот корень не принадлежит промежутку, так как $-\frac{2\pi}{3} < -\frac{\pi}{2}$ ($-0.66...\pi < -0.5\pi$).
• При $n=1$: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$. Этот корень принадлежит промежутку, так как $-\frac{\pi}{2} \le \frac{4\pi}{3} \le \frac{3\pi}{2}$ ($-0.5\pi \le 1.33...\pi \le 1.5\pi$).
• При $n=2$: $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$, что больше $\frac{3\pi}{2}$.

Итак, на заданном промежутке уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{2\pi}{3}$ и $x_2 = \frac{4\pi}{3}$.

Найдем их сумму: Сумма корней = $x_1 + x_2 = \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$

30.19. Найдите все корни уравнения $2\cos^2x = \sin x$, удовлетворяющие неравенству $\frac{\pi}{2} < x < \pi$.

Исходное уравнение: $2\cos^2x = \sin x$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2x + \cos^2x = 1$, откуда $\cos^2x = 1 - \sin^2x$. Подставим это в уравнение:

$2(1 - \sin^2x) = \sin x$

Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\sin x$:

$2 - 2\sin^2x = \sin x$

$2\sin^2x + \sin x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $t = \sin x$. Так как область значений синуса $[-1, 1]$, то $-1 \le t \le 1$. Уравнение примет вид:

$2t^2 + t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение по формуле корней:

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}$

Получаем два потенциальных значения для $\sin x$:

1) $\sin x = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$. Оценим это значение. Так как $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$, то $4 < \sqrt{17} < 5$. Следовательно, $3 < -1 + \sqrt{17} < 4$, и $\frac{3}{4} < \frac{-1 + \sqrt{17}}{4} < 1$. Поскольку это значение находится в интервале $[-1, 1]$, у уравнения есть корни.

2) $\sin x = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$. Так как $\sqrt{17} > 4$, то $-1 - \sqrt{17} < -5$, и $\frac{-1 - \sqrt{17}}{4} < \frac{-5}{4} = -1.25$. Это значение меньше -1, поэтому оно не входит в область значений функции синус. Корней в этом случае нет.

Таким образом, мы ищем решения уравнения $\sin x = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$, которые удовлетворяют неравенству $\frac{\pi}{2} < x < \pi$.

Общее решение уравнения $\sin x = a$ дается формулой $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $a = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$ — положительное число, поэтому главный корень $\alpha = \arcsin\left(\frac{-1 + \sqrt{17}}{4}\right)$ находится в первой четверти, то есть $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Общие решения можно разбить на две серии: первая серия $x = \alpha + 2\pi k$ (для четных $k$) и вторая серия $x = \pi - \alpha + 2\pi k$ (для нечетных $k$).

Теперь выберем корень из заданного интервала $(\frac{\pi}{2}, \pi)$.

Корни первой серии $x = \alpha + 2\pi k$ не подходят. При $k=0$ корень $x = \alpha$ лежит в первой четверти $(0, \frac{\pi}{2})$. При других целых $k$ корни также не попадут в искомый интервал.

Рассмотрим корни второй серии $x = \pi - \alpha + 2\pi k$. При $k=0$ получаем $x = \pi - \alpha$. Поскольку $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то $\pi - \frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi$, то есть $\frac{\pi}{2} < x < \pi$. Этот корень нам подходит. При других целых $k$ (например, $k=1$ или $k=-1$) корни будут выходить за пределы заданного интервала.

Единственный корень, удовлетворяющий условию, это $x = \pi - \arcsin\left(\frac{-1 + \sqrt{17}}{4}\right)$.

Ответ: $x = \pi - \arcsin\left(\frac{-1 + \sqrt{17}}{4}\right)$

30.20. Найдите все корни уравнения $\sin x + \cos x = 1$, удовлетворяющие неравенству $0 < x < \pi$.

Данную задачу можно решить в два этапа: сначала найти общее решение уравнения $\sin(x) + \cos(x) = 1$, а затем отобрать те корни, которые принадлежат интервалу $(0, \pi)$.

1. Решение уравнения $\sin(x) + \cos(x) = 1$

Для решения уравнений вида $a \sin(x) + b \cos(x) = c$ используется метод введения вспомогательного угла. В нашем случае $a=1$, $b=1$.
Разделим обе части уравнения на коэффициент $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos(\frac{\pi}{4})$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(\frac{\pi}{4})$. Подставим эти значения в уравнение:
$\sin(x)\cos(\frac{\pi}{4}) + \cos(x)\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса суммы: $\sin(\alpha+\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$.
Таким образом, уравнение преобразуется к виду:
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Решения этого простейшего тригонометрического уравнения задаются двумя сериями:
$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
где $k \in \mathbb{Z}$ (любое целое число).

Из первой серии получаем:
$x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = 2\pi k$

Из второй серии получаем:
$x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Итак, все корни уравнения: $x = 2\pi k$ и $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Отбор корней на интервале $(0, \pi)$

Теперь необходимо найти корни, удовлетворяющие строгому неравенству $0 < x < \pi$.

Рассмотрим первую серию корней $x = 2\pi k$:
- при $k=0$, $x=0$. Не удовлетворяет условию $x > 0$.
- при $k=1$, $x=2\pi$. Не удовлетворяет условию $x < \pi$.
Другие целые значения $k$ также дадут корни вне заданного интервала. В этой серии подходящих корней нет.

Рассмотрим вторую серию корней $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$:
- при $k=0$, $x=\frac{\pi}{2}$. Проверим неравенство: $0 < \frac{\pi}{2} < \pi$. Неравенство верное, значит, $x=\frac{\pi}{2}$ является решением.
- при $k=1$, $x=\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$. Этот корень больше $\pi$.
- при $k=-1$, $x=\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$. Этот корень меньше $0$.
Другие целые значения $k$ также дадут корни вне заданного интервала. В этой серии есть только один подходящий корень.

Таким образом, единственный корень уравнения, удовлетворяющий неравенству $0 < x < \pi$, это $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

30.21. При каких значениях a имеет корни уравнение:

1) $ \sin^2 x - (3a - 3)\sin x + a(2a - 3) = 0; $

2) $ \cos^2 x + 2\cos x + a^2 - 6a + 10 = 0? $

1) Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно $ \sin x $.

Пусть $ t = \sin x $, где $ -1 \le t \le 1 $. Уравнение принимает вид:

$ t^2 - (3a - 3)t + a(2a - 3) = 0 $

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$ D = (-(3a - 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot a(2a - 3) = (3a - 3)^2 - 4(2a^2 - 3a) $

$ D = 9a^2 - 18a + 9 - 8a^2 + 12a = a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2 $

Поскольку $ D = (a - 3)^2 \ge 0 $ при любых значениях $ a $, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем эти корни:

$ t = \frac{3a - 3 \pm \sqrt{(a - 3)^2}}{2} = \frac{3a - 3 \pm (a - 3)}{2} $

Получаем два корня:

$ t_1 = \frac{3a - 3 + (a - 3)}{2} = \frac{4a - 6}{2} = 2a - 3 $

$ t_2 = \frac{3a - 3 - (a - 3)}{2} = \frac{2a}{2} = a $

Исходное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда хотя бы один из найденных корней $ t_1 $ или $ t_2 $ принадлежит отрезку $ [-1; 1] $, так как $ t = \sin x $.

Это равносильно совокупности двух условий:

$ \left[ \begin{array}{l} -1 \le 2a - 3 \le 1, \\ -1 \le a \le 1. \end{array} \right. $

Решим первое двойное неравенство:

$ -1 \le 2a - 3 \implies 2 \le 2a \implies a \ge 1 $

$ 2a - 3 \le 1 \implies 2a \le 4 \implies a \le 2 $

Таким образом, решением первого неравенства является отрезок $ [1; 2] $.

Второе неравенство уже дает готовый отрезок $ [-1; 1] $.

Условие существования корней выполняется, если $ a $ принадлежит объединению этих двух отрезков: $ [-1; 1] \cup [1; 2] $, что дает итоговый отрезок $ [-1; 2] $.

Следовательно, уравнение имеет корни при $ a \in [-1; 2] $.

Ответ: $ a \in [-1; 2] $.

2) Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты.

$ \cos^2 x + 2\cos x + a^2 - 6a + 10 = 0 $

Сгруппируем слагаемые:

$ (\cos^2 x + 2\cos x + 1) + (a^2 - 6a + 9) = 0 $

Свернем полные квадраты:

$ (\cos x + 1)^2 + (a - 3)^2 = 0 $

Сумма двух неотрицательных выражений (квадратов) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю.

Следовательно, мы получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} (\cos x + 1)^2 = 0 \\ (a - 3)^2 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения системы находим значение $ a $:

$ a - 3 = 0 \implies a = 3 $

Из первого уравнения системы находим значение $ \cos x $:

$ \cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1 $

Уравнение $ \cos x = -1 $ имеет корни (например, $ x = \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} $).

Таким образом, исходное уравнение имеет корни только при одновременном выполнении этих двух условий, что возможно только при $ a = 3 $.

Ответ: $ a = 3 $.

30.22. При каких значениях $a$ имеет корни уравнение:

1) $\cos^2 x - \cos x + a - a^2 = 0$;

2) $\sin^2 x - 2a\sin x + 2a^2 - 4a + 4 = 0?$

1)Рассмотрим уравнение $\cos^2 x - \cos x + a - a^2 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$. Поскольку область значений функции косинус находится в пределах от -1 до 1, то для переменной $t$ должно выполняться условие $t \in [-1; 1]$.
После замены уравнение принимает вид:
$t^2 - t + (a - a^2) = 0$.
Исходное уравнение будет иметь корни тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение будет иметь хотя бы один корень $t$ в промежутке $[-1; 1]$.
Найдем корни этого квадратного уравнения. Вычислим дискриминант $D$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - a^2) = 1 - 4a + 4a^2 = (2a - 1)^2$.
Поскольку $D = (2a - 1)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.
Найдем эти корни:
$t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(2a-1)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm (2a - 1)}{2}$.
Получаем два корня:
$t_1 = \frac{1 + (2a - 1)}{2} = \frac{2a}{2} = a$.
$t_2 = \frac{1 - (2a - 1)}{2} = \frac{1 - 2a + 1}{2} = \frac{2 - 2a}{2} = 1 - a$.
Теперь необходимо, чтобы хотя бы один из этих корней принадлежал отрезку $[-1; 1]$. Это условие можно записать в виде совокупности неравенств:
$\left[ \begin{array}{l} -1 \le t_1 \le 1 \\ -1 \le t_2 \le 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} -1 \le a \le 1 \\ -1 \le 1 - a \le 1 \end{array} \right.$
Решим второе двойное неравенство:
$-1 \le 1 - a \implies a \le 1 + 1 \implies a \le 2$.
$1 - a \le 1 \implies -a \le 0 \implies a \ge 0$.
Таким образом, второе неравенство равносильно $0 \le a \le 2$.
Теперь найдем объединение решений двух неравенств:
$a \in [-1; 1] \cup [0; 2]$.
Объединением этих двух отрезков является отрезок $[-1; 2]$.
Следовательно, при $a \in [-1; 2]$ уравнение имеет корни.
Ответ: $a \in [-1; 2]$.

2)Рассмотрим уравнение $\sin^2 x - 2a\sin x + 2a^2 - 4a + 4 = 0$.
Это уравнение также можно рассматривать как квадратное относительно $\sin x$. Однако, более элегантный способ решения — выделить полные квадраты.
Сгруппируем слагаемые:
$(\sin^2 x - 2a\sin x) + (2a^2 - 4a + 4) = 0$.
Дополним первую скобку до полного квадрата, прибавив и вычтя $a^2$:
$(\sin^2 x - 2a\sin x + a^2) - a^2 + (2a^2 - 4a + 4) = 0$.
Теперь свернем полный квадрат и упростим оставшиеся члены:
$(\sin x - a)^2 + (a^2 - 4a + 4) = 0$.
Заметим, что второе слагаемое также является полным квадратом: $a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$.
Таким образом, уравнение принимает вид:
$(\sin x - a)^2 + (a - 2)^2 = 0$.
Мы получили сумму двух квадратов, которая равна нулю. Сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю.
Это равносильно системе уравнений:
$\begin{cases} \sin x - a = 0 \\ a - 2 = 0 \end{cases}$
Из второго уравнения системы сразу находим значение $a$:
$a = 2$.
Подставим это значение в первое уравнение:
$\sin x - 2 = 0 \implies \sin x = 2$.
Однако, область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$. Уравнение $\sin x = 2$ не имеет решений, так как $2 \notin [-1; 1]$.
Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором данная система уравнений имела бы решение. Это означает, что исходное уравнение не имеет корней ни при каком значении параметра $a$.
Ответ: таких значений $a$ не существует.