Страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.2. Верно ли равенство:

1) $\arcsin \pi = 0;$

2) $\arcsin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2};$

3) $\arcsin 1 + \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6};$

4) $\arcsin \frac{1}{2} + \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{2};$

5) $\arcsin 1 \cdot \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi^2}{12};$

6) $\arccos 0 = -\frac{\pi}{2};$

7) $\arccos 1 = 2\pi;$

8) $\arccos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2};$

9) $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2};$

10) $\arccos^2 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{25\pi^2}{36};$

11) $\operatorname{arcctg} \frac{\pi}{2} = 0;$

12) $\operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} + \operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{2}?$

1) Область определения функции арксинус — это отрезок `[-1, 1]`. Поскольку `\pi \approx 3.14159`, то `\pi > 1`, следовательно, значение `\pi` не входит в область определения `\arcsin(x)`. Таким образом, выражение `\arcsin \pi` не имеет смысла. Ответ: неверно.

2) Равенство `\arcsin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}` было бы верным, если бы `\sin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}`. Однако, `\sin \frac{1}{2} \approx 0.479`, а `\frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14159}{6} \approx 0.523`. Эти значения не равны. Правильное равенство выглядит так: `\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}`. Ответ: неверно.

3) Вычислим каждое слагаемое по отдельности. По определению, `\arcsin 1` — это угол из промежутка `[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]`, синус которого равен 1, то есть `\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}`. `\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})` — это угол из того же промежутка, синус которого равен `-\frac{\sqrt{3}}{2}`, то есть `\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}`. Сложим полученные значения: `\frac{\pi}{2} + (-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 2\pi}{6} = \frac{\pi}{6}`. Равенство выполняется. Ответ: верно.

4) Вычислим значения слагаемых. `\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}` (поскольку `\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}` и `\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]`). `\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}` (поскольку `\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}` и `\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]`). Сумма равна `\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi + 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}`. Равенство выполняется. Ответ: верно.

5) Найдем значения каждого множителя. `\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}` и `\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}`. Их произведение равно `\frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi^2}{12}`. Равенство выполняется. Ответ: верно.

6) Область значений функции арккосинус — это отрезок `[0, \pi]`. Значение `-\frac{\pi}{2}` не принадлежит этому отрезку. Правильное значение: `\arccos 0 = \frac{\pi}{2}`, так как `\cos \frac{\pi}{2} = 0` и `\frac{\pi}{2} \in [0, \pi]`. Ответ: неверно.

7) Область значений функции арккосинус — это отрезок `[0, \pi]`. Значение `2\pi` не принадлежит этому отрезку. Правильное значение: `\arccos 1 = 0`, так как `\cos 0 = 1` и `0 \in [0, \pi]`. Ответ: неверно.

8) Область определения функции арккосинус — это отрезок `[-1, 1]`. Поскольку `\frac{2\pi}{3} \approx \frac{2 \cdot 3.14159}{3} \approx 2.094 > 1`, значение `\frac{2\pi}{3}` не входит в область определения, и выражение `\arccos \frac{2\pi}{3}` не имеет смысла. Ответ: неверно.

9) Вычислим значения слагаемых. `\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}` (поскольку `\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}` и `\frac{\pi}{6} \in [0, \pi]`). `\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}` (поскольку `\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}` и `\frac{\pi}{3} \in [0, \pi]`). Сумма равна `\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi + 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}`. Равенство выполняется. Ответ: верно.

10) Сначала найдем `\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})`. Это угол `y` из отрезка `[0, \pi]`, для которого `\cos y = -\frac{\sqrt{3}}{2}`. Используя формулу `\arccos(-x) = \pi - \arccos x`, получаем `\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}`. Теперь возведем это значение в квадрат: `(\frac{5\pi}{6})^2 = \frac{25\pi^2}{36}`. Равенство выполняется. Ответ: верно.

11) Область значений функции арккотангенс — это интервал `(0, \pi)`. Значение `0` не принадлежит этому интервалу. Кроме того, равенство `\operatorname{arcctg} \frac{\pi}{2} = 0` означало бы, что `\operatorname{ctg} 0 = \frac{\pi}{2}`, но `\operatorname{ctg} 0` не определен. Правильным было бы равенство `\operatorname{arcctg} 0 = \frac{\pi}{2}`. Ответ: неверно.

12) Данное равенство является частным случаем тождества `\operatorname{arctg} x + \operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2}`, которое верно для любого действительного `x`. Проверим прямым вычислением: `\operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6}` и `\operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{3}`. Их сумма: `\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi + 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}`. Равенство выполняется. Ответ: верно.

29.3. Вычислите:

1) $ctg\left(\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}\right);$

2) $cos(2\arctg1);$

3) $cos\left(\frac{1}{2}\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

4) $ctg(2\arcctg(-\sqrt{3}));$

5) $sin\left(3\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right);$

6) $sin\left(\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\arctg1\right).$

1) $ \mathrm{ctg}(\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}) $

Сначала вычислим значение внутреннего выражения. Арксинус числа $a$ (обозначается $\arcsin a$) — это угол $ \alpha $ из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $a$.

В нашем случае, $ \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} $ - это угол, синус которого равен $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Из таблицы стандартных тригонометрических значений мы знаем, что $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Угол $ \frac{\pi}{4} $ принадлежит промежутку $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $.

Следовательно, $ \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} $.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$ \mathrm{ctg}(\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}) = \mathrm{ctg}(\frac{\pi}{4}) $

Значение котангенса угла $ \frac{\pi}{4} $ равно 1.

$ \mathrm{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1 $

Ответ: 1

2) $ \cos(2\operatorname{arctg}1) $

Сначала вычислим значение $ \operatorname{arctg}1 $. Арктангенс числа $a$ (обозначается $ \operatorname{arctg} a $) — это угол $ \alpha $ из промежутка $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен $a$.

Угол, тангенс которого равен 1, это $ \frac{\pi}{4} $. Этот угол принадлежит промежутку $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $.

Значит, $ \operatorname{arctg}1 = \frac{\pi}{4} $.

Подставляем это значение в выражение:

$ \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2}) $

Значение косинуса угла $ \frac{\pi}{2} $ равно 0.

$ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $

Ответ: 0

3) $ \cos(\frac{1}{2}\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}) $

Вычислим значение $ \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} $. Это угол из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Этот угол равен $ \frac{\pi}{3} $.

Подставляем найденное значение:

$ \cos(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{6}) $

Значение косинуса угла $ \frac{\pi}{6} $ равно $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

$ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

4) $ \mathrm{ctg}(2\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})) $

Сначала найдём значение $ \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) $. Арккотангенс числа $a$ (обозначается $ \operatorname{arcctg} a $) — это угол $ \alpha $ из промежутка $ (0; \pi) $, котангенс которого равен $a$.

Используем свойство арккотангенса: $ \operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x) $.
Мы знаем, что $ \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} $.

Следовательно, $ \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$ \mathrm{ctg}(2 \cdot \frac{5\pi}{6}) = \mathrm{ctg}(\frac{5\pi}{3}) $

Угол $ \frac{5\pi}{3} $ можно представить как $ 2\pi - \frac{\pi}{3} $. Используя периодичность котангенса, получаем:

$ \mathrm{ctg}(\frac{5\pi}{3}) = \mathrm{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \mathrm{ctg}(-\frac{\pi}{3}) $

Так как котангенс — нечетная функция, $ \mathrm{ctg}(-x) = -\mathrm{ctg}(x) $:

$ -\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} $

Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $

5) $ \sin(3\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})) $

Вычислим значение $ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) $. Используем свойство нечетности арксинуса: $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $.

$ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} $

Подставим это значение в выражение:

$ \sin(3 \cdot (-\frac{\pi}{3})) = \sin(-\pi) $

Синус угла $ -\pi $ равен 0.

$ \sin(-\pi) = 0 $

Ответ: 0

6) $ \sin(\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\operatorname{arctg}1) $

Вычислим значения обратных тригонометрических функций по отдельности:

$ \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} $

$ \operatorname{arctg}1 = \frac{\pi}{4} $

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$ \sin(\frac{\pi}{4} + 2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}) $

Сложим углы в скобках:

$ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $

Теперь вычислим $ \sin(\frac{3\pi}{4}) $. Угол $ \frac{3\pi}{4} $ находится во второй четверти. Его можно представить как $ \pi - \frac{\pi}{4} $.

$ \sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) $

По формуле приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $:

$ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

1) $\operatorname{tg} (\arccos 1)$;

2) $\sin \left(\arccos \frac{1}{2}\right)$;

3) $\cos \left(2\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

4) $\operatorname{ctg} \left(2\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$;

5) $\operatorname{tg}(2\arccos (-1))$;

6) $\cos \left(\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{\pi}{3}\right)$.

1) Вычислим $\operatorname{tg}(\arccos 1)$.

По определению арккосинуса, $\arccos 1$ — это угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, такой что $\cos \alpha = 1$. Этим углом является $\alpha = 0$.

Следовательно, $\arccos 1 = 0$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\operatorname{tg}(\arccos 1) = \operatorname{tg}(0) = 0$.

Ответ: 0

2) Вычислим $\sin(\arccos\frac{1}{2})$.

По определению, $\arccos\frac{1}{2}$ — это угол $\alpha \in [0; \pi]$, такой что $\cos \alpha = \frac{1}{2}$. Этим углом является $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

Следовательно, $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\sin(\arccos\frac{1}{2}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) Вычислим $\cos(2\arccos\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Сначала найдем значение $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это угол $\alpha \in [0; \pi]$, такой что $\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим углом является $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Подставим это значение в выражение под знаком косинуса:

$2\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Теперь вычислим косинус полученного угла:

$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Ответ: 0

4) Вычислим $\operatorname{ctg}(2\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}})$.

Сначала найдем значение $\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}}$. Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

По определению арксинуса, $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}$ — это угол $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, такой что $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим углом является $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Подставим это значение в выражение под знаком котангенса:

$2\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Теперь вычислим котангенс полученного угла:

$\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\pi/2)}{\sin(\pi/2)} = \frac{0}{1} = 0$.

Ответ: 0

5) Вычислим $\operatorname{tg}(2\arccos(-1))$.

Сначала найдем значение $\arccos(-1)$. Это угол $\alpha \in [0; \pi]$, такой что $\cos \alpha = -1$. Этим углом является $\alpha = \pi$.

Подставим это значение в выражение под знаком тангенса:

$2\arccos(-1) = 2 \cdot \pi = 2\pi$.

Теперь вычислим тангенс полученного угла:

$\operatorname{tg}(2\pi) = 0$.

Ответ: 0

6) Вычислим $\cos(\arccos(-\frac{1}{2}) + \frac{\pi}{3})$.

Сначала найдем значение $\arccos(-\frac{1}{2})$. Это угол $\alpha \in [0; \pi]$, такой что $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$. Этим углом является $\alpha = \frac{2\pi}{3}$.

Подставим это значение в выражение в скобках:

$\arccos(-\frac{1}{2}) + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi$.

Теперь вычислим косинус полученного угла:

$\cos(\pi) = -1$.

Ответ: -1

29.5. Вычислите:

1) $cos(arccos \frac{1}{3});$

2) $tg(arctg 4);$

3) $cos(arccos \frac{\pi}{4});$

4) $tg(arctg \frac{\pi}{2}).$

1)

Для вычисления значения выражения $cos(\arccos\frac{1}{3})$ используется основное тождество для обратных тригонометрических функций. По определению, $\arccos a$ — это угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.

Тождество $cos(\arccos a) = a$ справедливо при условии, что аргумент $a$ находится в области определения функции арккосинус, то есть $|a| \le 1$.

В нашем случае $a = \frac{1}{3}$. Проверим выполнение условия: $| \frac{1}{3} | = \frac{1}{3}$, что меньше или равно 1. Условие выполняется.

Следовательно, применяя тождество, получаем: $cos(\arccos\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

2)

Для вычисления значения выражения $tg(\arctg 4)$ воспользуемся аналогичным тождеством для тангенса и арктангенса. По определению, $\arctg a$ — это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$.

Тождество $tg(\arctg a) = a$ справедливо для любого действительного числа $a$, так как область определения арктангенса — все действительные числа ($a \in \mathbb{R}$).

В данном примере $a = 4$. Так как 4 является действительным числом, тождество применимо.

Таким образом, $tg(\arctg 4) = 4$.

Ответ: $4$

3)

Для вычисления выражения $cos(\arccos\frac{\pi}{4})$ снова используем тождество $cos(\arccos a) = a$ при условии $|a| \le 1$.

Здесь $a = \frac{\pi}{4}$. Необходимо проверить, выполняется ли условие $| \frac{\pi}{4} | \le 1$.

Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$. Тогда $a = \frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14159}{4} \approx 0.785$.

Поскольку $-1 \le 0.785 \le 1$, условие выполняется.

Следовательно, $cos(\arccos\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

4)

Для вычисления выражения $tg(\arctg\frac{\pi}{2})$ применяем тождество $tg(\arctg a) = a$.

Это тождество справедливо для любого действительного значения $a$.

В нашем случае $a = \frac{\pi}{2}$. Это действительное число, поэтому мы можем напрямую применить тождество без дополнительных проверок.

Таким образом, $tg(\arctg\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

29.6. Вычислите:

1) $\sin\left(\arcsin\frac{3}{4}\right);$

2) $\ctg(\arcctg 5);$

3) $\sin\left(\arcsin\frac{\pi}{6}\right);$

4) $\ctg(\arcctg \pi).$

1) По определению арксинуса, $\arcsin a$ — это такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, что $\sin \alpha = a$. Это определение справедливо при $|a| \le 1$.
В данном случае $a = \frac{3}{4}$. Так как $| \frac{3}{4} | \le 1$, то выражение имеет смысл.
Выражение $\sin(\arcsin \frac{3}{4})$ означает синус угла, синус которого равен $\frac{3}{4}$.
Следовательно, по определению $\sin(\arcsin \frac{3}{4}) = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

2) По определению арккотангенса, $\text{arcctg } a$ — это такое число (угол) $\alpha$ из интервала $(0; \pi)$, что $\ctg \alpha = a$. Это определение справедливо для любого действительного числа $a$.
В данном случае $a = 5$.
Выражение $\ctg(\text{arcctg } 5)$ означает котангенс угла, котангенс которого равен $5$.
Следовательно, по определению $\ctg(\text{arcctg } 5) = 5$.
Ответ: $5$.

3) Для вычисления выражения $\sin(\arcsin \frac{\pi}{6})$ используется основное свойство арксинуса: $\sin(\arcsin a) = a$ при условии, что $|a| \le 1$.
Проверим это условие для $a = \frac{\pi}{6}$.
Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$.
$a = \frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14159}{6} \approx 0.5236$.
Поскольку $-1 \le 0.5236 \le 1$, условие выполняется.
Следовательно, $\sin(\arcsin \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

4) Для вычисления выражения $\ctg(\text{arcctg } \pi)$ используется основное свойство арккотангенса: $\ctg(\text{arcctg } a) = a$ для любого действительного числа $a$.
Число $\pi$ является действительным числом, поэтому данное свойство применимо.
Следовательно, $\ctg(\text{arcctg } \pi) = \pi$.
Ответ: $\pi$.