Страница 221 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.5. Решите уравнение:

1) $6 \cos^2 x + 5 \sin x - 7 = 0;$

2) $2 \sin^2 x + 7 \cos x + 2 = 0;$

3) $\cos 2x = 1 + 4 \cos x;$

4) $2 \cos x - \cos 2x - \cos^2 x = 0;$

5) $\cos 2x + \sin x = 0;$

6) $\cos \frac{2x}{3} - 5 \cos \frac{x}{3} - 2 = 0;$

7) $\cos 2x - \cos^2 x - \sqrt{2} \sin x = 0;$

8) $\cos \frac{x}{2} + \cos x = 0;$

9) $\tan x + \cot x = -2;$

10) $8 \sin^2 3x + 4 \sin^2 6x = 5;$

11) $4 \tan 5x + 3 \cot 5x = 7;$

12) $\frac{1}{\sin^2 x} = \cot x + 3;$

13) $2 \tan^2 x + 4 \cos^2 x = 7;$

14) $\cos 2x - 4 \sqrt{2} \cos x + 4 = 0.$

1) $6\cos^2x + 5\sin x - 7 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2x = 1 - \sin^2x$, чтобы привести уравнение к одной функции:

$6(1 - \sin^2x) + 5\sin x - 7 = 0$

$6 - 6\sin^2x + 5\sin x - 7 = 0$

$-6\sin^2x + 5\sin x - 1 = 0$

$6\sin^2x - 5\sin x + 1 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. Уравнение принимает вид:

$6t^2 - 5t + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 1}{12}$.

$t_1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$; $t_2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Возвращаемся к замене:

1. $\sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin x = \frac{1}{3} \implies x = (-1)^k \arcsin\frac{1}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad x = (-1)^k \arcsin\frac{1}{3} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin^2x + 7\cos x + 2 = 0$

Используем тождество $\sin^2x = 1 - \cos^2x$:

$2(1 - \cos^2x) + 7\cos x + 2 = 0$

$2 - 2\cos^2x + 7\cos x + 2 = 0$

$-2\cos^2x + 7\cos x + 4 = 0$

$2\cos^2x - 7\cos x - 4 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - 7t - 4 = 0$

Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{7 \pm 9}{4}$.

$t_1 = \frac{16}{4} = 4$; $t_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Корень $t_1 = 4$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

Возвращаемся к замене с $t_2 = -\frac{1}{2}$:

$\cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos 2x = 1 + 4\cos x$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2x - 1$:

$2\cos^2x - 1 = 1 + 4\cos x$

$2\cos^2x - 4\cos x - 2 = 0$

$\cos^2x - 2\cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$t^2 - 2t - 1 = 0$

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

$t_1 = 1 + \sqrt{2} \approx 2.414$; $t_2 = 1 - \sqrt{2} \approx -0.414$.

Корень $t_1 = 1 + \sqrt{2}$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

Возвращаемся к замене с $t_2 = 1 - \sqrt{2}$:

$\cos x = 1 - \sqrt{2} \implies x = \pm \arccos(1 - \sqrt{2}) + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos(1 - \sqrt{2}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

4) $2\cos x - \cos 2x - \cos^2 x = 0$

Используем формулу $\cos 2x = 2\cos^2x - 1$:

$2\cos x - (2\cos^2x - 1) - \cos^2 x = 0$

$2\cos x - 2\cos^2x + 1 - \cos^2 x = 0$

$-3\cos^2x + 2\cos x + 1 = 0$

$3\cos^2x - 2\cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$3t^2 - 2t - 1 = 0$

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{2 \pm 4}{6}$.

$t_1 = \frac{6}{6} = 1$; $t_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Оба корня удовлетворяют условию. Возвращаемся к замене:

1. $\cos x = 1 \implies x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x = -\frac{1}{3} \implies x = \pm \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, \quad x = \pm \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

5) $\cos 2x + \sin x = 0$

Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2\sin^2x$:

$1 - 2\sin^2x + \sin x = 0$

$2\sin^2x - \sin x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - t - 1 = 0$

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$.

$t_1 = \frac{4}{4} = 1$; $t_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Оба корня удовлетворяют условию. Возвращаемся к замене:

1. $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin x = -\frac{1}{2} \implies x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

6) $\cos \frac{2x}{3} - 5\cos \frac{x}{3} - 2 = 0$

Пусть $y = \frac{x}{3}$. Уравнение примет вид $\cos(2y) - 5\cos y - 2 = 0$.

Используем формулу $\cos(2y) = 2\cos^2y - 1$:

$2\cos^2y - 1 - 5\cos y - 2 = 0$

$2\cos^2y - 5\cos y - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \cos y$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - 5t - 3 = 0$

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}$.

$t_1 = \frac{12}{4} = 3$; $t_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Корень $t_1=3$ не подходит. Возвращаемся к замене с $t_2 = -\frac{1}{2}$:

$\cos y = -\frac{1}{2} \implies y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Делаем обратную подстановку $y = \frac{x}{3}$:

$\frac{x}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm 2\pi + 6\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm 2\pi + 6\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

7) $\cos 2x - \cos^2 x - \sqrt{2} \sin x = 0$

Используем формулы $\cos 2x = 1 - 2\sin^2x$ и $\cos^2 x = 1 - \sin^2x$:

$(1 - 2\sin^2x) - (1 - \sin^2x) - \sqrt{2} \sin x = 0$

$1 - 2\sin^2x - 1 + \sin^2x - \sqrt{2} \sin x = 0$

$-\sin^2x - \sqrt{2} \sin x = 0$

$\sin^2x + \sqrt{2} \sin x = 0$

Выносим $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x + \sqrt{2}) = 0$

Получаем два уравнения:

1. $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin x + \sqrt{2} = 0 \implies \sin x = -\sqrt{2}$. Так как $|\sin x| \le 1$, а $-\sqrt{2} < -1$, это уравнение решений не имеет.

Ответ: $x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

8) $\cos \frac{x}{2} + \cos x = 0$

Используем формулу $\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$:

$\cos \frac{x}{2} + 2\cos^2\frac{x}{2} - 1 = 0$

$2\cos^2\frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos \frac{x}{2}$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 + t - 1 = 0$

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$.

$t_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $t_2 = \frac{-4}{4} = -1$.

Оба корня подходят. Возвращаемся к замене:

1. $\cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \implies \frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos \frac{x}{2} = -1 \implies \frac{x}{2} = \pi + 2\pi k \implies x = 2\pi + 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, \quad x = 2\pi + 4\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

9) $\tg x + \ctg x = -2$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Используем тождество $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$:

$\tg x + \frac{1}{\tg x} = -2$

Сделаем замену $t = \tg x$ ($t \ne 0$):

$t + \frac{1}{t} = -2$

Домножим на $t$: $t^2 + 1 = -2t$.

$t^2 + 2t + 1 = 0$

$(t+1)^2 = 0 \implies t = -1$.

Возвращаемся к замене: $\tg x = -1$.

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

10) $8\sin^2 3x + 4\sin^2 6x = 5$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 6x = 2\sin 3x \cos 3x$. Тогда $\sin^2 6x = 4\sin^2 3x \cos^2 3x$.

Подставим в уравнение: $8\sin^2 3x + 4(4\sin^2 3x \cos^2 3x) = 5$.

$8\sin^2 3x + 16\sin^2 3x (1 - \sin^2 3x) = 5$.

Сделаем замену $t = \sin^2 3x$, где $0 \le t \le 1$.

$8t + 16t(1-t) = 5$

$8t + 16t - 16t^2 = 5$

$16t^2 - 24t + 5 = 0$

Дискриминант $D = (-24)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 5 = 576 - 320 = 256$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{24 \pm \sqrt{256}}{32} = \frac{24 \pm 16}{32}$.

$t_1 = \frac{40}{32} = \frac{5}{4}$; $t_2 = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.

Корень $t_1 > 1$ не подходит. Остается $t_2 = \frac{1}{4}$.

Возвращаемся к замене: $\sin^2 3x = \frac{1}{4}$.

Используем формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1-\cos(6x)}{2} = \frac{1}{4} \implies 1-\cos(6x) = \frac{1}{2} \implies \cos(6x) = \frac{1}{2}$.

$6x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

11) $4\tg 5x + 3\ctg 5x = 7$

ОДЗ: $5x \ne \frac{\pi n}{2} \implies x \ne \frac{\pi n}{10}$.

Заменим $\ctg 5x = \frac{1}{\tg 5x}$ и сделаем подстановку $t = \tg 5x$ ($t \ne 0$).

$4t + \frac{3}{t} = 7$

$4t^2 - 7t + 3 = 0$

Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{7 \pm 1}{8}$.

$t_1 = 1$; $t_2 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Возвращаемся к замене:

1. $\tg 5x = 1 \implies 5x = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\tg 5x = \frac{3}{4} \implies 5x = \arctan\frac{3}{4} + \pi k \implies x = \frac{1}{5}\arctan\frac{3}{4} + \frac{\pi k}{5}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, \quad x = \frac{1}{5}\arctan\frac{3}{4} + \frac{\pi k}{5}, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

12) $\frac{1}{\sin^2 x} = \ctg x + 3$

ОДЗ: $\sin x \ne 0 \implies x \ne \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Используем тождество $1 + \ctg^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$:

$1 + \ctg^2 x = \ctg x + 3$

$\ctg^2 x - \ctg x - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \ctg x$.

$t^2 - t - 2 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 2$, $t_2 = -1$.

Возвращаемся к замене:

1. $\ctg x = 2 \implies x = \text{arcctg}(2) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\ctg x = -1 \implies x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \text{arcctg}(2) + \pi n, \quad x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

13) $2\tg^2 x + 4\cos^2 x = 7$

ОДЗ: $\cos x \ne 0 \implies x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Используем тождество $\tg^2 x = \frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}$:

$2\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x} + 4\cos^2 x = 7$

Сделаем замену $t = \cos^2 x$, где $0 < t \le 1$.

$2\frac{1-t}{t} + 4t = 7$

$2(1-t) + 4t^2 = 7t$

$4t^2 - 9t + 2 = 0$

Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{9 \pm 7}{8}$.

$t_1 = \frac{16}{8} = 2$; $t_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Корень $t_1=2$ не подходит. Остается $t_2 = \frac{1}{4}$.

$\cos^2 x = \frac{1}{4}$. Используем формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$.

$\frac{1+\cos 2x}{2} = \frac{1}{4} \implies 1+\cos 2x = \frac{1}{2} \implies \cos 2x = -\frac{1}{2}$.

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

14) $\cos 2x - 4\sqrt{2}\cos x + 4 = 0$

Используем формулу $\cos 2x = 2\cos^2x - 1$:

$(2\cos^2x - 1) - 4\sqrt{2}\cos x + 4 = 0$

$2\cos^2x - 4\sqrt{2}\cos x + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - 4\sqrt{2}t + 3 = 0$

Дискриминант $D = (-4\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 32 - 24 = 8$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{4\sqrt{2} \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4\sqrt{2} \pm 2\sqrt{2}}{4}$.

$t_1 = \frac{6\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$; $t_2 = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Корень $t_1 = \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2.12 > 1$ не подходит.

Возвращаемся к замене с $t_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

30.6. Решите уравнение:

1) $4\sin^2x + 8\cos x + 1 = 0;$

2) $2\cos^2x = 1 + \sin x;$

3) $\cos 2x + 8\sin x = 3;$

4) $\cos 2x + \sin^2x = \cos x;$

5) $5\sin\frac{x}{6} - \cos\frac{x}{3} + 3 = 0;$

6) $\cos x + \sin\frac{x}{2} = 0;$

7) $2\cos^24x - 6\cos^22x + 1 = 0;$

8) $\operatorname{tg} x + 2\operatorname{ctg} x = 3;$

9) $\sqrt{3}\operatorname{tg} x + 3 = \frac{3}{\cos^2x};$

10) $4\sin^2x + 9\operatorname{ctg}^2x = 6.$

1) Исходное уравнение: $4\sin^2x + 8\cos x + 1 = 0$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x = 1 - \cos^2x$, чтобы привести уравнение к одной функции:
$4(1 - \cos^2x) + 8\cos x + 1 = 0$
$4 - 4\cos^2x + 8\cos x + 1 = 0$
$-4\cos^2x + 8\cos x + 5 = 0$
$4\cos^2x - 8\cos x - 5 = 0$
Сделаем замену переменной $t = \cos x$, при этом должно выполняться условие $|t| \le 1$.
$4t^2 - 8t - 5 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.
Корни: $t_1 = \frac{8 - 12}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{8 + 12}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$.
Корень $t_2 = 5/2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, поэтому является посторонним.
Возвращаемся к исходной переменной: $\cos x = -1/2$.
Решения этого уравнения: $x = \pm \arccos(-1/2) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $2\cos^2x = 1 + \sin x$.
Используем тождество $\cos^2x = 1 - \sin^2x$:
$2(1 - \sin^2x) = 1 + \sin x$
$2 - 2\sin^2x = 1 + \sin x$
$2\sin^2x + \sin x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 + t - 1 = 0$
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9 = 3^2$.
Корни: $t_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$ и $t_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$.
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$.
Получаем два случая:
1) $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x = 1/2 \Rightarrow x = (-1)^k \arcsin(1/2) + \pi k \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $\cos 2x + 8\sin x = 3$.
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2x$:
$1 - 2\sin^2x + 8\sin x = 3$
$2\sin^2x - 8\sin x + 2 = 0$
$\sin^2x - 4\sin x + 1 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.
$t^2 - 4t + 1 = 0$
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
Корни: $t = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
$t_1 = 2 + \sqrt{3} \approx 2 + 1.73 = 3.73$, что больше 1 (посторонний корень).
$t_2 = 2 - \sqrt{3} \approx 2 - 1.73 = 0.27$, что удовлетворяет условию $|t| \le 1$.
Итак, $\sin x = 2 - \sqrt{3}$.
Решение: $x = (-1)^k \arcsin(2 - \sqrt{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \arcsin(2 - \sqrt{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $\cos 2x + \sin^2x = \cos x$.
Используем формулу $\cos 2x = \cos^2x - \sin^2x$:
$(\cos^2x - \sin^2x) + \sin^2x = \cos x$
$\cos^2x = \cos x$
$\cos^2x - \cos x = 0$
$\cos x (\cos x - 1) = 0$
Это равенство выполняется, если:
1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k; \quad x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) Исходное уравнение: $5\sin\frac{x}{6} - \cos\frac{x}{3} + 3 = 0$.
Используем формулу двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$, где $\alpha = x/6$:
$\cos\frac{x}{3} = 1 - 2\sin^2\frac{x}{6}$.
$5\sin\frac{x}{6} - (1 - 2\sin^2\frac{x}{6}) + 3 = 0$
$2\sin^2\frac{x}{6} + 5\sin\frac{x}{6} + 2 = 0$
Сделаем замену $t = \sin\frac{x}{6}$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 + 5t + 2 = 0$
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
Корни: $t_1 = \frac{-5 - 3}{4} = -2$ (посторонний корень) и $t_2 = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2}$.
Возвращаемся к замене: $\sin\frac{x}{6} = -1/2$.
$\frac{x}{6} = (-1)^k \arcsin(-1/2) + \pi k = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^{k+1}\pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1}\pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6) Исходное уравнение: $\cos x + \sin\frac{x}{2} = 0$.
Используем формулу $\cos x = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2}$:
$1 - 2\sin^2\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2} = 0$
$2\sin^2\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \sin\frac{x}{2}$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 - t - 1 = 0$
Корни: $t_1 = \frac{1 + \sqrt{1-4(2)(-1)}}{4} = \frac{1+3}{4} = 1$ и $t_2 = \frac{1-3}{4} = -1/2$.
Оба корня подходят.
1) $\sin\frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = \pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin\frac{x}{2} = -1/2 \Rightarrow \frac{x}{2} = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k \Rightarrow x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 4\pi k; \quad x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

7) Исходное уравнение: $2\cos^2(4x) - 6\cos^2(2x) + 1 = 0$.
Используем формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$ для $\alpha = 2x$:
$\cos^2(2x) = \frac{1+\cos(4x)}{2}$.
$2\cos^2(4x) - 6 \cdot \frac{1+\cos(4x)}{2} + 1 = 0$
$2\cos^2(4x) - 3(1+\cos(4x)) + 1 = 0$
$2\cos^2(4x) - 3 - 3\cos(4x) + 1 = 0$
$2\cos^2(4x) - 3\cos(4x) - 2 = 0$
Сделаем замену $t = \cos(4x)$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 - 3t - 2 = 0$.
Корни: $t_1 = \frac{3 + \sqrt{9-4(2)(-2)}}{4} = \frac{3+5}{4} = 2$ (посторонний корень) и $t_2 = \frac{3-5}{4} = -1/2$.
Возвращаемся к замене: $\cos(4x) = -1/2$.
$4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi k}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

8) Исходное уравнение: $\tg x + 2\ctg x = 3$.
Область допустимых значений: $\cos x \ne 0$ и $\sin x \ne 0$, т.е. $x \ne \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
Используем тождество $\ctg x = 1/\tg x$:
$\tg x + \frac{2}{\tg x} = 3$.
Сделаем замену $t = \tg x$ (при этом $t \ne 0$).
$t + 2/t = 3$. Умножим на $t$:
$t^2 + 2 = 3t \Rightarrow t^2 - 3t + 2 = 0$.
По теореме Виета корни $t_1=1, t_2=2$.
1) $\tg x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\tg x = 2 \Rightarrow x = \arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k; \quad x = \arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

9) Исходное уравнение: $\sqrt{3}\tg x + 3 = \frac{3}{\cos^2x}$.
ОДЗ: $\cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Используем тождество $\frac{1}{\cos^2x} = 1 + \tg^2x$:
$\sqrt{3}\tg x + 3 = 3(1 + \tg^2x)$
$\sqrt{3}\tg x + 3 = 3 + 3\tg^2x$
$3\tg^2x - \sqrt{3}\tg x = 0$
$\tg x (3\tg x - \sqrt{3}) = 0$.
1) $\tg x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $3\tg x - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \tg x = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \pi k; \quad x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

10) Исходное уравнение: $4\sin^2x + 9\ctg^2x = 6$.
ОДЗ: $\sin x \ne 0 \Rightarrow x \ne \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Используем тождество $\ctg^2x = \frac{1-\sin^2x}{\sin^2x}$.
$4\sin^2x + 9\frac{1-\sin^2x}{\sin^2x} = 6$.
Сделаем замену $t = \sin^2x$. Из ОДЗ следует, что $0 < t \le 1$.
$4t + \frac{9(1-t)}{t} = 6$. Умножим на $t$:
$4t^2 + 9(1-t) = 6t \Rightarrow 4t^2 - 15t + 9 = 0$.
Дискриминант $D = (-15)^2 - 4(4)(9) = 225 - 144 = 81 = 9^2$.
Корни: $t_1 = \frac{15+9}{8} = 3$ (посторонний корень) и $t_2 = \frac{15-9}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
Возвращаемся к замене: $\sin^2x = 3/4$.
Применим формулу понижения степени $\sin^2x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$:
$\frac{1-\cos(2x)}{2} = \frac{3}{4} \Rightarrow 1 - \cos(2x) = \frac{3}{2} \Rightarrow \cos(2x) = - \frac{1}{2}$.
$2x = \pm \arccos(-1/2) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

30.7. Решите уравнение:

1) $\sin^2 x + 0.5\sin 2x - 2\cos^2 x = 0;$

2) $\cos^2 5x + 7\sin^2 5x = 4 \sin 10x;$

3) $(\cos x + \sin x)^2 = 1 - \cos 2x;$

4) $3\sin^2 x - 7\sin x \cos x + 14\cos^2 x - 2 = 0;$

5) $5\cos^2 x - 3\sin^2 x - \sin 2x = 2;$

6) $3\sin^2 x + \sin x \cos x + 4\cos^2 x = 3;$

7) $3\sin x \cos x + \cos^2 x = 1;$

8) $\frac{2 \cos x + \sin x}{7 \sin x - \cos x} = \frac{1}{2}.$

1) $ \sin^2 x + 0,5\sin 2x - 2\cos^2 x = 0 $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:
$ \sin^2 x + 0,5(2\sin x \cos x) - 2\cos^2 x = 0 $
$ \sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0 $
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $ \cos x = 0 $ решением. Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2 x = 1 $. Подставив в уравнение, получим $ 1 + 0 - 0 = 0 $, что неверно. Следовательно, $ \cos x \neq 0 $, и мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^2 x $:
$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $
$ \tan^2 x + \tan x - 2 = 0 $
Сделаем замену $ t = \tan x $:
$ t^2 + t - 2 = 0 $
По теореме Виета находим корни: $ t_1 = 1 $, $ t_2 = -2 $.
Возвращаемся к замене:
1. $ \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
2. $ \tan x = -2 \implies x = \arctan(-2) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = -\arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos^2 5x + 7\sin^2 5x = 4\sin 10x $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 10x = 2\sin 5x \cos 5x $:
$ \cos^2 5x + 7\sin^2 5x = 4(2\sin 5x \cos 5x) $
$ \cos^2 5x + 7\sin^2 5x - 8\sin 5x \cos 5x = 0 $
$ 7\sin^2 5x - 8\sin 5x \cos 5x + \cos^2 5x = 0 $
Это однородное уравнение. Если $ \cos 5x = 0 $, то $ \sin^2 5x = 1 $. Уравнение примет вид $ 7 \cdot 1 - 0 + 0 = 0 $, что неверно. Значит, $ \cos 5x \neq 0 $. Делим обе части на $ \cos^2 5x $:
$ 7\tan^2 5x - 8\tan 5x + 1 = 0 $
Пусть $ t = \tan 5x $:
$ 7t^2 - 8t + 1 = 0 $
Дискриминант $ D = (-8)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 64 - 28 = 36 = 6^2 $.
$ t_1 = \frac{8 - 6}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7} $
$ t_2 = \frac{8 + 6}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1 $
Возвращаемся к замене:
1. $ \tan 5x = 1 \implies 5x = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $
2. $ \tan 5x = \frac{1}{7} \implies 5x = \arctan\left(\frac{1}{7}\right) + \pi k \implies x = \frac{1}{5}\arctan\left(\frac{1}{7}\right) + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{1}{5}\arctan\left(\frac{1}{7}\right) + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $.

3) $ (\cos x + \sin x)^2 = 1 - \cos 2x $

Раскроем скобки в левой части и применим формулы двойного угла:
Левая часть: $ (\cos x + \sin x)^2 = \cos^2 x + 2\sin x \cos x + \sin^2 x = (\sin^2 x + \cos^2 x) + 2\sin x \cos x = 1 + \sin 2x $.
Правая часть: $ 1 - \cos 2x $.
Получаем уравнение:
$ 1 + \sin 2x = 1 - \cos 2x $
$ \sin 2x = -\cos 2x $
Если $ \cos 2x = 0 $, то $ \sin 2x = 0 $, что невозможно, так как $ \sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1 $. Поэтому $ \cos 2x \neq 0 $ и мы можем разделить обе части на $ \cos 2x $:
$ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = -1 $
$ \tan 2x = -1 $
$ 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

4) $ 3\sin^2 x - 7\sin x \cos x + 14\cos^2 x - 2 = 0 $

Используем основное тригонометрическое тождество, представив $ 2 $ как $ 2 \cdot 1 = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) $:
$ 3\sin^2 x - 7\sin x \cos x + 14\cos^2 x - 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0 $
$ 3\sin^2 x - 7\sin x \cos x + 14\cos^2 x - 2\sin^2 x - 2\cos^2 x = 0 $
Приводим подобные слагаемые:
$ \sin^2 x - 7\sin x \cos x + 12\cos^2 x = 0 $
Это однородное уравнение. Разделим его на $ \cos^2 x $ (случай $ \cos x=0 $ не является решением):
$ \tan^2 x - 7\tan x + 12 = 0 $
Пусть $ t = \tan x $:
$ t^2 - 7t + 12 = 0 $
По теореме Виета, корни $ t_1 = 3 $, $ t_2 = 4 $.
Возвращаемся к замене:
1. $ \tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
2. $ \tan x = 4 \implies x = \arctan(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \arctan(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

5) $ 5\cos^2 x - 3\sin^2 x - \sin 2x = 2 $

Применим формулу $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $ и заменим $ 2 $ на $ 2(\sin^2 x + \cos^2 x) $:
$ 5\cos^2 x - 3\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) $
$ 5\cos^2 x - 3\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x $
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$ (5-2)\cos^2 x - (3+2)\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 0 $
$ 3\cos^2 x - 5\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 0 $
Умножим на -1 и переставим слагаемые:
$ 5\sin^2 x + 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0 $
Разделим на $ \cos^2 x $ (так как $ \cos x=0 $ не является решением):
$ 5\tan^2 x + 2\tan x - 3 = 0 $
Пусть $ t = \tan x $:
$ 5t^2 + 2t - 3 = 0 $
Дискриминант $ D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2 $.
$ t_1 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1 $
$ t_2 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $
Возвращаемся к замене:
1. $ \tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
2. $ \tan x = \frac{3}{5} \implies x = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

6) $ 3\sin^2 x + \sin x \cos x + 4\cos^2 x = 3 $

Заменим $ 3 $ в правой части на $ 3(\sin^2 x + \cos^2 x) $:
$ 3\sin^2 x + \sin x \cos x + 4\cos^2 x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x $
Вычтем $ 3\sin^2 x $ из обеих частей:
$ \sin x \cos x + 4\cos^2 x = 3\cos^2 x $
$ \sin x \cos x + \cos^2 x = 0 $
Вынесем $ \cos x $ за скобки:
$ \cos x (\sin x + \cos x) = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1. $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
2. $ \sin x + \cos x = 0 \implies \sin x = -\cos x $. Разделив на $ \cos x $ (он не равен нулю в этом случае), получим $ \tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

7) $ 3\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 $

Заменим $ 1 $ на $ \sin^2 x + \cos^2 x $:
$ 3\sin x \cos x + \cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x $
Вычтем $ \cos^2 x $ из обеих частей:
$ 3\sin x \cos x = \sin^2 x $
$ \sin^2 x - 3\sin x \cos x = 0 $
Вынесем $ \sin x $ за скобки:
$ \sin x (\sin x - 3\cos x) = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1. $ \sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $
2. $ \sin x - 3\cos x = 0 \implies \sin x = 3\cos x $. Разделив на $ \cos x $ (он не равен нулю в этом случае), получим $ \tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

8) $ \frac{2\cos x + \sin x}{7\sin x - \cos x} = \frac{1}{2} $

Область допустимых значений: $ 7\sin x - \cos x \neq 0 \implies 7\sin x \neq \cos x \implies \tan x \neq \frac{1}{7} $.
Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$ 2(2\cos x + \sin x) = 1(7\sin x - \cos x) $
$ 4\cos x + 2\sin x = 7\sin x - \cos x $
Сгруппируем слагаемые:
$ 4\cos x + \cos x = 7\sin x - 2\sin x $
$ 5\cos x = 5\sin x $
$ \cos x = \sin x $
Если $ \cos x = 0 $, то и $ \sin x = 0 $, что невозможно. Значит, $ \cos x \neq 0 $, и мы можем разделить обе части на $ \cos x $:
$ 1 = \frac{\sin x}{\cos x} $
$ \tan x = 1 $
Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как $ 1 \neq \frac{1}{7} $.
$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

30.8. Решите уравнение:

1) $\sin^2 x + 3\cos^2 x - 2\sin 2x = 0;$

2) $5\sin^2 x - 5\sin x \cos x + 2\cos^2 x = 1;$

3) $6\sin^2 x + 2\sin 2x + 4\cos^2 x = 3;$

4) $2\cos^2 x + \sin 2x - 2 = 0;$

5) $3\sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x + 5\cos^2 x = 2;$

6) $ \frac{2\sin x - \cos x}{5\sin x - 4\cos x} = \frac{1}{3}. $

1) Дано уравнение $sin^2x + 3cos^2x - 2sin2x = 0$.

Используем формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinxcosx$:

$sin^2x + 3cos^2x - 2(2sinxcosx) = 0$

$sin^2x - 4sinxcosx + 3cos^2x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Заметим, что $cosx=0$ не является решением, так как в этом случае $sin^2x=1$, и уравнение принимает вид $1=0$, что неверно. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $cos^2x$:

$\frac{sin^2x}{cos^2x} - \frac{4sinxcosx}{cos^2x} + \frac{3cos^2x}{cos^2x} = 0$

$tan^2x - 4tanx + 3 = 0$

Пусть $t = tanx$, тогда получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Возвращаемся к переменной $x$:

Если $tanx = 1$, то $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Если $tanx = 3$, то $x = arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, x = arctan(3) + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $5sin^2x - 5sinxcosx + 2cos^2x = 1$.

Используем основное тригонометрическое тождество $1 = sin^2x + cos^2x$:

$5sin^2x - 5sinxcosx + 2cos^2x = sin^2x + cos^2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(5sin^2x - sin^2x) - 5sinxcosx + (2cos^2x - cos^2x) = 0$

$4sin^2x - 5sinxcosx + cos^2x = 0$

Это однородное уравнение. Разделим его на $cos^2x$ (убедившись, что $cosx \ne 0$, иначе $4sin^2x=0 \implies sinx=0$, что невозможно одновременно с $cosx=0$):

$4tan^2x - 5tanx + 1 = 0$

Пусть $t = tanx$:

$4t^2 - 5t + 1 = 0$

Находим корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$.

$t_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

Возвращаемся к $x$:

Если $tanx = 1$, то $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Если $tanx = \frac{1}{4}$, то $x = arctan(\frac{1}{4}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, x = arctan(\frac{1}{4}) + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $6sin^2x + 2sin2x + 4cos^2x = 3$.

Используем формулу $sin2x = 2sinxcosx$ и тождество $3 = 3(sin^2x + cos^2x)$:

$6sin^2x + 2(2sinxcosx) + 4cos^2x = 3sin^2x + 3cos^2x$

$6sin^2x + 4sinxcosx + 4cos^2x = 3sin^2x + 3cos^2x$

Приводим подобные слагаемые:

$3sin^2x + 4sinxcosx + cos^2x = 0$

Снова получили однородное уравнение. Делим на $cos^2x$:

$3tan^2x + 4tanx + 1 = 0$

Пусть $t = tanx$:

$3t^2 + 4t + 1 = 0$

Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.

$t_1 = \frac{-4 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

$t_2 = \frac{-4 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Возвращаемся к $x$:

Если $tanx = -1$, то $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Если $tanx = -\frac{1}{3}$, то $x = arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k = -arctan(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, x = -arctan(\frac{1}{3}) + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $2cos^2x + sin2x - 2 = 0$.

Используем формулу $sin2x = 2sinxcosx$:

$2cos^2x + 2sinxcosx - 2 = 0$

Вынесем общий множитель $2cosx$ за скобки (предварительно можно заменить $-2$ на $-2(sin^2x + cos^2x)$, но есть способ проще):

$2(cos^2x - 1) + 2sinxcosx = 0$

Используем тождество $cos^2x - 1 = -sin^2x$:

$-2sin^2x + 2sinxcosx = 0$

$-2sinx(sinx - cosx) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $sinx = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. $sinx - cosx = 0 \implies sinx = cosx$. Делим на $cosx$ (он не может быть равен 0, т.к. тогда и $sinx=0$, что невозможно):

$tanx = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, x = \frac{\pi}{4} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$.

5) Дано уравнение $3sin^2x - 2\sqrt{3}sinxcosx + 5cos^2x = 2$.

Заменяем $2$ на $2(sin^2x + cos^2x)$:

$3sin^2x - 2\sqrt{3}sinxcosx + 5cos^2x = 2sin^2x + 2cos^2x$

Переносим все в левую часть:

$(3sin^2x - 2sin^2x) - 2\sqrt{3}sinxcosx + (5cos^2x - 2cos^2x) = 0$

$sin^2x - 2\sqrt{3}sinxcosx + 3cos^2x = 0$

Делим на $cos^2x$:

$tan^2x - 2\sqrt{3}tanx + 3 = 0$

Это выражение является полным квадратом:

$(tanx - \sqrt{3})^2 = 0$

$tanx - \sqrt{3} = 0$

$tanx = \sqrt{3}$

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6) Дано уравнение $\frac{2sinx - cosx}{5sinx - 4cosx} = \frac{1}{3}$.

Область допустимых значений: $5sinx - 4cosx \ne 0$.

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$3(2sinx - cosx) = 1(5sinx - 4cosx)$

$6sinx - 3cosx = 5sinx - 4cosx$

Группируем слагаемые:

$6sinx - 5sinx = -4cosx + 3cosx$

$sinx = -cosx$

Если $cosx = 0$, то $sinx = 0$, что невозможно. Значит, $cosx \ne 0$, и мы можем разделить обе части на $cosx$:

$\frac{sinx}{cosx} = -1$

$tanx = -1$

Проверим ОДЗ: если $tanx = -1$, то $sinx = -\frac{1}{\sqrt{2}}, cosx = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (или наоборот с другими знаками). Подставим в знаменатель: $5(-\frac{1}{\sqrt{2}}) - 4(\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{9}{\sqrt{2}} \ne 0$. Условие выполняется.

Находим решение:

$x = arctan(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

30.9. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $ \sin^2 x + \cos x + 1 = 0 $.

Для решения уравнения $\sin^2 x + \cos x + 1 = 0$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(1 - \cos^2 x) + \cos x + 1 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-\cos^2 x + \cos x + 2 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:

$\cos^2 x - \cos x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$. Учитывая, что область значений косинуса $[-1; 1]$, имеем ограничение $-1 \le t \le 1$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - t - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

$t_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = 2$

$t_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1. Первый корень $t_1 = 2$. Получаем уравнение $\cos x = 2$. Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса не может превышать 1.

2. Второй корень $t_2 = -1$. Получаем уравнение $\cos x = -1$. Это частный случай тригонометрического уравнения, решения которого имеют вид:

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

Нам необходимо найти наибольший отрицательный корень. Для этого будем перебирать целочисленные значения $n$.

Если $n = 0$, то $x = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi$. Это положительный корень.

Если $n = -1$, то $x = \pi + 2\pi \cdot (-1) = \pi - 2\pi = -\pi$. Это отрицательный корень.

Если $n = -2$, то $x = \pi + 2\pi \cdot (-2) = \pi - 4\pi = -3\pi$. Этот корень также отрицательный, но $-\pi > -3\pi$.

При уменьшении $n$ значения $x$ также будут уменьшаться. Таким образом, самый большой из отрицательных корней получается при $n=-1$.

Ответ: $-\pi$