Страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.7. Найдите область определения функции:

1) $y = \arccos (x^2 - 10)$;

2) $y = \arcsin \frac{1}{2x}$;

3) $y = \arctan (4 - x)$;

4) $y = \arctan \frac{\pi}{x + 5}$;

5) $y = \arccot \sqrt{x + 2}$;

6) $y = \arcsin \frac{1}{x} + \arccot \sqrt{x - 1}$.

1) Область определения функции арккосинуса $y = \arccos(t)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, аргумент функции $x^2 - 10$ должен удовлетворять двойному неравенству:

$-1 \le x^2 - 10 \le 1$

Это неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 10 \ge -1 \\ x^2 - 10 \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^2 \ge 9$

$|x| \ge 3$, что означает $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 \le 11$

$|x| \le \sqrt{11}$, что означает $x \in [-\sqrt{11}, \sqrt{11}]$.

Область определения исходной функции является пересечением решений этих двух неравенств:

$((-\infty, -3] \cup [3, \infty)) \cap [-\sqrt{11}, \sqrt{11}] = [-\sqrt{11}, -3] \cup [3, \sqrt{11}]$.

Ответ: $[-\sqrt{11}, -3] \cup [3, \sqrt{11}]$.

2) Область определения функции арксинуса $y = \arcsin(t)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, аргумент функции $\frac{1}{2x}$ должен удовлетворять двойному неравенству:

$-1 \le \frac{1}{2x} \le 1$

Это неравенство также означает, что знаменатель $2x$ не может быть равен нулю, то есть $x \ne 0$.

Данное двойное неравенство эквивалентно неравенству с модулем:

$|\frac{1}{2x}| \le 1$

$\frac{1}{|2x|} \le 1$

Так как $|2x| > 0$, можно умножить обе части на $|2x|$:

$1 \le |2x|$

$|x| \ge \frac{1}{2}$

Это неравенство распадается на два: $x \ge \frac{1}{2}$ или $x \le -\frac{1}{2}$.

Таким образом, область определения функции — это объединение двух промежутков.

Ответ: $(-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2}, \infty)$.

3) Область определения функции арктангенса $y = \arctan(t)$ — все действительные числа, то есть $t \in \mathbb{R}$.

Аргумент функции, выражение $4 - x$, определен для любого действительного значения $x$.

Следовательно, область определения данной функции — все действительные числа.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

4) Область определения функции арктангенса $y = \arctan(t)$ — все действительные числа. Однако, ее аргумент, выражение $\frac{\pi}{x + 5}$, должен быть определен.

Аргумент является дробью, которая определена, если ее знаменатель не равен нулю.

$x + 5 \ne 0$

$x \ne -5$

Таким образом, область определения функции — все действительные числа, кроме $-5$.

Ответ: $(-\infty, -5) \cup (-5, +\infty)$.

5) Область определения функции арккотангенса $y = \text{arccot}(t)$ — все действительные числа. Однако, ее аргумент, выражение $\sqrt{x + 2}$, должен быть определен.

Аргумент содержит квадратный корень, который определен только для неотрицательных подкоренных выражений.

$x + 2 \ge 0$

$x \ge -2$

Таким образом, область определения функции — все числа, большие или равные $-2$.

Ответ: $[-2, \infty)$.

6) Данная функция является суммой двух функций: $y_1 = \arcsin(\frac{1}{x})$ и $y_2 = \text{arccot}(\sqrt{x - 1})$. Область определения исходной функции является пересечением областей определения этих двух функций.

1. Найдем область определения $y_1 = \arcsin(\frac{1}{x})$. Аргумент арксинуса должен быть в пределах от -1 до 1:

$-1 \le \frac{1}{x} \le 1$, что эквивалентно $| \frac{1}{x} | \le 1$, или $|x| \ge 1$.

Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Найдем область определения $y_2 = \text{arccot}(\sqrt{x - 1})$. Аргумент арккотангенса может быть любым действительным числом, но подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x - 1 \ge 0$

$x \ge 1$, то есть $x \in [1, \infty)$.

3. Найдем пересечение полученных областей определения:

$((-\infty, -1] \cup [1, \infty)) \cap [1, \infty) = [1, \infty)$.

Ответ: $[1, \infty)$.

29.8. Найдите область определения функции:

1) $y = \arccos (x + 2);$

2) $y = \arcsin\sqrt{x};$

3) $y = \mathrm{arctg}\sqrt{x - 3};$

4) $y = \mathrm{arcctg} (5 - x);$

5) $y = \mathrm{arcctg} \frac{\pi}{x + 7};$

6) $y = \arcsin(x - 1) + \mathrm{arctg}\sqrt{x}.$

1) Для функции $y = \arccos(x + 2)$.
Область определения функции арккосинус, $y = \arccos(t)$, есть отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, аргумент функции, выражение $x + 2$, должен удовлетворять двойному неравенству:
$-1 \le x + 2 \le 1$.
Вычтем 2 из всех частей неравенства, чтобы найти $x$:
$-1 - 2 \le x + 2 - 2 \le 1 - 2$
$-3 \le x \le -1$.
Таким образом, область определения функции – это отрезок $x \in [-3; -1]$.
Ответ: $[-3; -1]$.

2) Для функции $y = \arcsin\sqrt{x}$.
Область определения этой функции находится из системы двух условий:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Аргумент функции арксинус должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$: $-1 \le \sqrt{x} \le 1$.
Поскольку квадратный корень по определению является неотрицательной величиной ($\sqrt{x} \ge 0$), второе неравенство эквивалентно следующему:
$0 \le \sqrt{x} \le 1$.
Чтобы избавиться от корня, возведем все части этого неравенства в квадрат:
$0^2 \le (\sqrt{x})^2 \le 1^2$
$0 \le x \le 1$.
Теперь необходимо найти пересечение решений обоих условий: $x \ge 0$ и $0 \le x \le 1$. Общим решением является отрезок $[0; 1]$.
Ответ: $[0; 1]$.

3) Для функции $y = \operatorname{arctg}\sqrt{x - 3}$.
Область определения функции арктангенс, $y = \operatorname{arctg}(t)$, – это все действительные числа. Поэтому единственное ограничение на область определения накладывает квадратный корень.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$x - 3 \ge 0$.
Решая это простое неравенство, получаем:
$x \ge 3$.
Следовательно, область определения функции – это числовой луч $[3; +\infty)$.
Ответ: $[3; +\infty)$.

4) Для функции $y = \operatorname{arcctg}(5 - x)$.
Область определения функции арккотангенс, $y = \operatorname{arcctg}(t)$, – это множество всех действительных чисел ($t \in \mathbb{R}$).
Аргумент функции, выражение $5 - x$, может принимать любое действительное значение. Следовательно, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.
Область определения – все действительные числа.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

5) Для функции $y = \operatorname{arcctg}\frac{\pi}{x + 7}$.
Так же, как и арктангенс, функция арккотангенс определена для любого действительного аргумента. Ограничение возникает из-за того, что аргумент является дробью, а на ноль делить нельзя.
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$x + 7 \ne 0$.
Отсюда $x \ne -7$.
Таким образом, область определения – это все действительные числа, кроме $-7$.
Ответ: $(-\infty; -7) \cup (-7; +\infty)$.

6) Для функции $y = \arcsin(x - 1) + \operatorname{arctg}\sqrt{x}$.
Область определения данной функции является пересечением областей определения двух слагаемых: $y_1 = \arcsin(x - 1)$ и $y_2 = \operatorname{arctg}\sqrt{x}$.
1. Найдем область определения для $y_1 = \arcsin(x - 1)$.
Аргумент арксинуса должен лежать в пределах от -1 до 1 включительно:
$-1 \le x - 1 \le 1$.
Прибавим 1 ко всем частям двойного неравенства:
$0 \le x \le 2$.
Итак, область определения первого слагаемого: $D_1 = [0; 2]$.
2. Найдем область определения для $y_2 = \operatorname{arctg}\sqrt{x}$.
Арктангенс определен для любых значений, поэтому ограничение накладывается только на подкоренное выражение:
$x \ge 0$.
Область определения второго слагаемого: $D_2 = [0; +\infty)$.
3. Область определения исходной функции есть пересечение найденных областей $D_1$ и $D_2$:
$D(y) = D_1 \cap D_2 = [0; 2] \cap [0; +\infty) = [0; 2]$.
Ответ: $[0; 2]$.

29.9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = \arcsin x + \frac{\pi}{2}$;

2) $y = \arccos x + 2$;

3) $y = 2\arcsin x - \frac{\pi}{3}$;

4) $y = \frac{1}{\arccos x}$.

1) $y = \arcsin x + \frac{\pi}{2}$

Областью значений функции арксинус является отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. То есть, для любого $x$ из области определения функции ($x \in [-1, 1]$) выполняется двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$

Чтобы найти область значений для заданной функции, прибавим ко всем частям этого неравенства $\frac{\pi}{2}$:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \le \arcsin x + \frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$

Выполним сложение:

$0 \le y \le \pi$

Таким образом, наименьшее значение функции равно 0 (достигается при $x = -1$), а наибольшее значение равно $\pi$ (достигается при $x = 1$).

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение $\pi$.

2) $y = \arccos x + 2$

Областью значений функции арккосинус является отрезок $[0, \pi]$. То есть, для любого $x$ из области определения функции ($x \in [-1, 1]$) выполняется двойное неравенство:

$0 \le \arccos x \le \pi$

Чтобы найти область значений для заданной функции, прибавим ко всем частям этого неравенства 2:

$0 + 2 \le \arccos x + 2 \le \pi + 2$

$2 \le y \le \pi + 2$

Таким образом, наименьшее значение функции равно 2 (достигается при $x = 1$), а наибольшее значение равно $\pi + 2$ (достигается при $x = -1$).

Ответ: наименьшее значение 2, наибольшее значение $\pi + 2$.

3) $y = 2\arcsin x - \frac{\pi}{3}$

Областью значений функции арксинус является отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$

Сначала умножим все части неравенства на 2 (знаки неравенства не меняются, так как 2 > 0):

$2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) \le 2\arcsin x \le 2 \cdot \frac{\pi}{2}$

$-\pi \le 2\arcsin x \le \pi$

Теперь вычтем из всех частей неравенства $\frac{\pi}{3}$:

$-\pi - \frac{\pi}{3} \le 2\arcsin x - \frac{\pi}{3} \le \pi - \frac{\pi}{3}$

$-\frac{3\pi+\pi}{3} \le y \le \frac{3\pi-\pi}{3}$

$-\frac{4\pi}{3} \le y \le \frac{2\pi}{3}$

Таким образом, наименьшее значение функции равно $-\frac{4\pi}{3}$ (достигается при $x = -1$), а наибольшее значение равно $\frac{2\pi}{3}$ (достигается при $x = 1$).

Ответ: наименьшее значение $-\frac{4\pi}{3}$, наибольшее значение $\frac{2\pi}{3}$.

4) $y = \frac{1}{\arccos x}$

Область определения функции $y = \arccos x$ есть отрезок $[-1, 1]$. Для заданной функции знаменатель дроби не может быть равен нулю, то есть $\arccos x \neq 0$. Это условие выполняется при $x \neq 1$. Следовательно, область определения данной функции $D(y) = [-1, 1)$.

Найдем, какие значения принимает $\arccos x$ на промежутке $[-1, 1)$. Функция $z = \arccos x$ является убывающей. Ее значения на промежутке $x \in [-1, 1)$ лежат в промежутке $(\arccos 1, \arccos(-1)]$.

Поскольку $\arccos 1 = 0$ и $\arccos(-1) = \pi$, получаем, что знаменатель $\arccos x$ принимает все значения из промежутка $(0, \pi]$.

Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{t}$, где $t = \arccos x$ и $t \in (0, \pi]$.

Функция $y = \frac{1}{t}$ является убывающей на промежутке $(0, \infty)$. Следовательно, свое наименьшее значение она примет при наибольшем значении $t$, а наибольшего значения у нее не будет, так как $t$ может быть сколь угодно близким к нулю.

Наибольшее значение $t = \pi$ (при $x=-1$). При этом $y$ принимает наименьшее значение:

$y_{min} = \frac{1}{\pi}$

Когда $x \to 1^-$, то $t = \arccos x \to 0^+$. При этом $y = \frac{1}{t} \to +\infty$. Следовательно, наибольшего значения у функции не существует.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{\pi}$, наибольшего значения не существует.

29.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = \arccos x + \pi;$

2) $y = \arcsin x - 2;$

3) $y = 3\arccos x + \frac{\pi}{6}.$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений данных функций необходимо использовать известные области значений для основных обратных тригонометрических функций: арксинуса и арккосинуса.

• Область значений функции $y = \arccos x$ — это отрезок $[0; \pi]$. Следовательно, $0 \le \arccos x \le \pi$.
• Область значений функции $y = \arcsin x$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Следовательно, $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$.

Мы будем преобразовывать эти неравенства, чтобы найти область значений для каждой из заданных функций.

1) $y = \arccos x + \pi$

Исходим из области значений функции арккосинус:

$0 \le \arccos x \le \pi$

Чтобы найти область значений для функции $y = \arccos x + \pi$, прибавим константу $\pi$ ко всем частям двойного неравенства:

$0 + \pi \le \arccos x + \pi \le \pi + \pi$

Выполняем сложение:

$\pi \le y \le 2\pi$

Таким образом, наименьшее значение функции равно $\pi$ (достигается при $\arccos x = 0$, то есть при $x=1$), а наибольшее значение равно $2\pi$ (достигается при $\arccos x = \pi$, то есть при $x=-1$).

Ответ: наименьшее значение: $\pi$, наибольшее значение: $2\pi$.

2) $y = \arcsin x - 2$

Исходим из области значений функции арксинус:

$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$

Чтобы найти область значений для функции $y = \arcsin x - 2$, вычтем константу 2 из всех частей двойного неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - 2 \le \arcsin x - 2 \le \frac{\pi}{2} - 2$

$-\frac{\pi}{2} - 2 \le y \le \frac{\pi}{2} - 2$

Таким образом, наименьшее значение функции равно $-\frac{\pi}{2} - 2$ (достигается при $\arcsin x = -\frac{\pi}{2}$, то есть при $x=-1$), а наибольшее значение равно $\frac{\pi}{2} - 2$ (достигается при $\arcsin x = \frac{\pi}{2}$, то есть при $x=1$).

Ответ: наименьшее значение: $-\frac{\pi}{2} - 2$, наибольшее значение: $\frac{\pi}{2} - 2$.

3) $y = 3\arccos x + \frac{\pi}{6}$

Снова используем область значений функции арккосинус:

$0 \le \arccos x \le \pi$

Сначала умножим все части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$3 \cdot 0 \le 3\arccos x \le 3 \cdot \pi$

$0 \le 3\arccos x \le 3\pi$

Теперь прибавим $\frac{\pi}{6}$ ко всем частям полученного неравенства:

$0 + \frac{\pi}{6} \le 3\arccos x + \frac{\pi}{6} \le 3\pi + \frac{\pi}{6}$

Выполняем вычисления:

$\frac{\pi}{6} \le y \le \frac{18\pi}{6} + \frac{\pi}{6}$

$\frac{\pi}{6} \le y \le \frac{19\pi}{6}$

Таким образом, наименьшее значение функции равно $\frac{\pi}{6}$ (достигается при $\arccos x = 0$, то есть при $x=1$), а наибольшее значение равно $\frac{19\pi}{6}$ (достигается при $\arccos x = \pi$, то есть при $x=-1$).

Ответ: наименьшее значение: $\frac{\pi}{6}$, наибольшее значение: $\frac{19\pi}{6}$.

29.11. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = \arccos\sqrt{x + 2};$

2) $y = \sqrt{\arcsin x}.$

1) $y = \arccos\sqrt{x} + 2$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, сначала определим ее область определения $D(y)$.

Функция состоит из трех частей: квадратного корня, арккосинуса и сложения с константой.
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Аргумент функции арккосинус должен находиться в пределах от -1 до 1: $-1 \le \sqrt{x} \le 1$.

Поскольку $\sqrt{x}$ не может быть отрицательным, второе неравенство упрощается до $0 \le \sqrt{x} \le 1$.

Возведя все части этого неравенства в квадрат, получаем $0 \le x \le 1$.

Объединяя условия $x \ge 0$ и $0 \le x \le 1$, получаем, что область определения функции — это отрезок $D(y) = [0, 1]$.

Теперь найдем область значений функции $E(y)$.

Рассмотрим промежуточную функцию $t = \sqrt{x}$. На отрезке $x \in [0, 1]$ значения $t$ также принадлежат отрезку $[0, 1]$.

Далее рассмотрим функцию $z = \arccos t$. Эта функция является монотонно убывающей на всей своей области определения, включая отрезок $[0, 1]$. Следовательно, свое наибольшее значение она принимает при наименьшем значении аргумента $t$, а наименьшее — при наибольшем.

Наибольшее значение $z$ на отрезке $t \in [0, 1]$: $z_{max} = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.
Наименьшее значение $z$ на отрезке $t \in [0, 1]$: $z_{min} = \arccos(1) = 0$.

Таким образом, область значений функции $z = \arccos(\sqrt{x})$ есть отрезок $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Исходная функция $y = \arccos\sqrt{x} + 2$. Чтобы найти ее значения, нужно к значениям $z$ прибавить 2.

Наименьшее значение функции: $y_{min} = z_{min} + 2 = 0 + 2 = 2$.
Наибольшее значение функции: $y_{max} = z_{max} + 2 = \frac{\pi}{2} + 2$.

Ответ: наименьшее значение 2, наибольшее значение $\frac{\pi}{2} + 2$.

2) $y = \sqrt{\arcsin x}$

Найдем область определения функции $D(y)$.

1. Аргумент функции арксинус должен находиться в пределах от -1 до 1: $-1 \le x \le 1$.
2. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $\arcsin x \ge 0$.

Функция арксинус неотрицательна, когда ее аргумент неотрицателен, то есть при $x \ge 0$.

Объединяя условия $-1 \le x \le 1$ и $x \ge 0$, получаем, что область определения функции — это отрезок $D(y) = [0, 1]$.

Теперь найдем область значений функции $E(y)$.

Рассмотрим промежуточную функцию $t = \arcsin x$. Эта функция является монотонно возрастающей. На отрезке $x \in [0, 1]$ она принимает значения от $\arcsin 0$ до $\arcsin 1$.
$t_{min} = \arcsin 0 = 0$.
$t_{max} = \arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, область значений функции $t = \arcsin x$ на отрезке $x \in [0, 1]$ есть отрезок $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Исходная функция $y = \sqrt{t}$. Функция квадратного корня также является монотонно возрастающей. Следовательно, для нахождения ее наименьшего и наибольшего значений на отрезке $t \in [0, \frac{\pi}{2}]$, нужно подставить в нее концы этого отрезка.

Наименьшее значение функции: $y_{min} = \sqrt{t_{min}} = \sqrt{0} = 0$.
Наибольшее значение функции: $y_{max} = \sqrt{t_{max}} = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение $\sqrt{\frac{\pi}{2}}$.

29.12. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = \arcsin\sqrt{x + 4}$;

2) $y = \sqrt{\arccos x}$.

1) $y = \arcsin\sqrt{x} + 4$

Сначала найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Аргумент функции арксинус, которым является $\sqrt{x}$, должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$. Так как $\sqrt{x}$ всегда неотрицателен, это условие сводится к двойному неравенству $0 \le \sqrt{x} \le 1$. Возведя все части неравенства в квадрат, получим $0 \le x \le 1$. Таким образом, область определения данной функции $D(y) = [0, 1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке $[0, 1]$, проанализируем её составляющие. Функция $t(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей на своей области определения. Функция $g(t) = \arcsin t$ также является возрастающей. Композиция двух возрастающих функций есть возрастающая функция, поэтому $h(x) = \arcsin\sqrt{x}$ возрастает на отрезке $[0, 1]$.

Это означает, что свои наименьшее и наибольшее значения функция $h(x)$ принимает на концах отрезка $[0, 1]$.
Наименьшее значение $h(x)$ достигается при $x=0$:
$h_{наим} = \arcsin\sqrt{0} = \arcsin(0) = 0$.
Наибольшее значение $h(x)$ достигается при $x=1$:
$h_{наиб} = \arcsin\sqrt{1} = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.

Исходная функция $y = \arcsin\sqrt{x} + 4$ получается из функции $h(x)$ прибавлением константы 4. Это означает, что ее значения на 4 больше соответствующих значений $h(x)$.
Следовательно, наименьшее значение функции $y$:
$y_{наим} = 0 + 4 = 4$.
Наибольшее значение функции $y$:
$y_{наиб} = \frac{\pi}{2} + 4$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 4, наибольшее значение функции равно $4 + \frac{\pi}{2}$.

2) $y = \sqrt{\arccos x}$

Найдем область определения функции. Аргумент функции арккосинус должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$, то есть $-1 \le x \le 1$. Выражение под знаком квадратного корня, $\arccos x$, должно быть неотрицательным: $\arccos x \ge 0$.

По определению, область значений функции $g(x) = \arccos x$ есть отрезок $[0, \pi]$. Так как для любого $x \in [-1, 1]$ значение $\arccos x$ находится в пределах от $0$ до $\pi$, условие $\arccos x \ge 0$ выполняется всегда. Таким образом, область определения функции $y = \sqrt{\arccos x}$ совпадает с областью определения арккосинуса: $D(y) = [-1, 1]$.

Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения функции. Функция $t(x) = \arccos x$ является монотонно убывающей на всей своей области определения $[-1, 1]$.
Наибольшее значение $\arccos x$ достигается при $x=-1$ и равно $\arccos(-1) = \pi$.
Наименьшее значение $\arccos x$ достигается при $x=1$ и равно $\arccos(1) = 0$.
Область значений для $t(x) = \arccos x$ есть отрезок $[0, \pi]$.

Внешняя функция $f(t) = \sqrt{t}$ является монотонно возрастающей при $t \ge 0$. Так как композиция $y(x) = f(t(x))$ состоит из возрастающей внешней функции и убывающей внутренней, то итоговая функция $y(x) = \sqrt{\arccos x}$ является убывающей на отрезке $[-1, 1]$.
Следовательно, наибольшее значение функции $y$ достигается при наименьшем значении аргумента $x$, то есть при $x=-1$:
$y_{наиб} = \sqrt{\arccos(-1)} = \sqrt{\pi}$.
Наименьшее значение функции $y$ достигается при наибольшем значении аргумента $x$, то есть при $x=1$:
$y_{наим} = \sqrt{\arccos(1)} = \sqrt{0} = 0$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 0, наибольшее значение функции равно $\sqrt{\pi}$.

29.13. Вычислите:

1) $\cos\left(\arcsin\frac{4}{5}\right);$

2) $\operatorname{tg}\left(\arcsin\frac{1}{4}\right).$

1) Вычислим значение выражения $\cos\left(\arcsin\frac{4}{5}\right)$.

Пусть $\alpha = \arcsin\frac{4}{5}$. По определению арксинуса, это означает, что $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Поскольку значение $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ положительное, угол $\alpha$ должен находиться в первой четверти, то есть $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. В этом промежутке значение косинуса является неотрицательным ($\cos \alpha \ge 0$).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Выразим из него косинус: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$. Так как мы установили, что $\cos \alpha \ge 0$, мы можем написать: $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha}$.

Подставим известное значение $\sin \alpha$: $\cos\alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25-16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

Таким образом, $\cos\left(\arcsin\frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

2) Вычислим значение выражения $\text{tg}\left(\arcsin\frac{1}{4}\right)$.

Пусть $\beta = \arcsin\frac{1}{4}$. По определению арксинуса, это означает, что $\sin \beta = \frac{1}{4}$ и угол $\beta$ находится в промежутке $-\frac{\pi}{2} \le \beta \le \frac{\pi}{2}$.

Поскольку значение $\sin \beta = \frac{1}{4}$ положительное, угол $\beta$ находится в первой четверти, то есть $0 \le \beta \le \frac{\pi}{2}$. В этом промежутке косинус является неотрицательным ($\cos \beta \ge 0$).

Для нахождения тангенса нам потребуются значения синуса и косинуса. Синус нам известен. Найдем косинус из основного тригонометрического тождества $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$: $\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{16-1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

Теперь вычислим тангенс, используя формулу $\text{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$: $\text{tg}\beta = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{1 \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$.

Таким образом, $\text{tg}\left(\arcsin\frac{1}{4}\right) = \frac{\sqrt{15}}{15}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{15}$.

29.14. Вычислите:

1) $ \sin\left(\arccos \frac{1}{3}\right); $

2) $ \operatorname{ctg}\left(\arccos \frac{12}{13}\right). $

1)

Пусть $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos(\alpha) = \frac{1}{3}$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $[0, \pi]$.

Нам нужно найти значение $\sin\left(\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right)$, то есть $\sin(\alpha)$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

Подставим известное значение $\cos(\alpha)$:
$\sin^2(\alpha) + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1$
$\sin^2(\alpha) + \frac{1}{9} = 1$
$\sin^2(\alpha) = 1 - \frac{1}{9}$
$\sin^2(\alpha) = \frac{8}{9}$

Отсюда $\sin(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{3} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Поскольку $\alpha \in [0, \pi]$, значение $\sin(\alpha)$ является неотрицательным ($\sin(\alpha) \ge 0$). Следовательно, мы выбираем положительный корень.

$\sin(\alpha) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Таким образом, $\sin\left(\arccos\frac{1}{3}\right) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

2)

Пусть $\alpha = \arccos\left(\frac{12}{13}\right)$. Согласно определению арккосинуса, $\cos(\alpha) = \frac{12}{13}$ и угол $\alpha$ лежит в промежутке $[0, \pi]$.

Нам нужно найти $\text{ctg}\left(\arccos\left(\frac{12}{13}\right)\right)$, то есть $\text{ctg}(\alpha)$. Мы знаем, что $\text{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$. Для этого сначала найдем $\sin(\alpha)$.

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

Подставим значение $\cos(\alpha)$:
$\sin^2(\alpha) + \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1$
$\sin^2(\alpha) + \frac{144}{169} = 1$
$\sin^2(\alpha) = 1 - \frac{144}{169}$
$\sin^2(\alpha) = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$

Следовательно, $\sin(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$.

Так как $\alpha \in [0, \pi]$, то $\sin(\alpha) \ge 0$. Поэтому $\sin(\alpha) = \frac{5}{13}$.

Теперь мы можем вычислить котангенс:
$\text{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5} = \frac{12}{5}$.

Таким образом, $\text{ctg}\left(\arccos\frac{12}{13}\right) = \frac{12}{5}$.

Ответ: $\frac{12}{5}$.

29.15. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $x^6 - 3x^3 - 10 = 0;$

2) $\sqrt{x+4} + 3\sqrt[4]{x+4} = 28;$

3) $\frac{2x+1}{x} + \frac{4x}{2x+1} = 5;$

4) $x^2 + x - \sqrt{x^2 + x - 2} = 8.$

1)

Данное уравнение $x^6 - 3x^3 - 10 = 0$ является бикубическим. Для его решения введем замену переменной.

Пусть $t = x^3$. Тогда $x^6 = (x^3)^2 = t^2$. Исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения:

$t^2 - 3t - 10 = 0$

Решим это уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Если $t = 5$, то $x^3 = 5$, откуда $x = \sqrt[3]{5}$.

Если $t = -2$, то $x^3 = -2$, откуда $x = \sqrt[3]{-2} = -\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $-\sqrt[3]{2}; \sqrt[3]{5}$.

2)

В уравнении $\sqrt{x+4} + 3\sqrt[4]{x+4} = 28$ определим область допустимых значений (ОДЗ): выражение под корнем должно быть неотрицательным, $x+4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt[4]{x+4}$. Тогда $\sqrt{x+4} = (\sqrt[4]{x+4})^2 = t^2$. По определению арифметического корня четной степени, $t \ge 0$.

Подставим замену в уравнение:

$t^2 + 3t = 28$

$t^2 + 3t - 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $-28$. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -7$.

Согласно условию $t \ge 0$, корень $t_2 = -7$ является посторонним. Используем только $t_1 = 4$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[4]{x+4} = 4$

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$x+4 = 4^4$

$x+4 = 256$

$x = 252$

Найденный корень $x=252$ удовлетворяет ОДЗ ($252 \ge -4$).

Ответ: $252$.

3)

Для уравнения $\frac{2x+1}{x} + \frac{4x}{2x+1} = 5$ найдем ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $x \ne 0$ и $2x+1 \ne 0 \implies x \ne -0.5$.

Заметим, что слагаемые в левой части являются взаимообратными выражениями. Введем замену: пусть $t = \frac{2x+1}{x}$. Тогда второе слагаемое $\frac{4x}{2x+1} = 4 \cdot \frac{x}{2x+1} = \frac{4}{t}$.

Уравнение принимает вид:

$t + \frac{4}{t} = 5$

Так как $2x+1$ в знаменателе, то $t \ne 0$. Умножим обе части на $t$:

$t^2 + 4 = 5t$

$t^2 - 5t + 4 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1) $\frac{2x+1}{x} = 1 \implies 2x+1 = x \implies x = -1$.

2) $\frac{2x+1}{x} = 4 \implies 2x+1 = 4x \implies 2x = 1 \implies x = 0.5$.

Оба корня, $-1$ и $0.5$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-1; 0.5$.

4)

Для решения уравнения $x^2 + x - \sqrt{x^2+x-2} = 8$ найдем ОДЗ: $x^2+x-2 \ge 0$. Корнями трехчлена $x^2+x-2=0$ являются $x_1=-2$ и $x_2=1$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$.

Преобразуем уравнение, чтобы выделить одинаковые выражения: $(x^2+x-2) - \sqrt{x^2+x-2} + 2 = 8$, что равносильно $(x^2+x-2) - \sqrt{x^2+x-2} - 6 = 0$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2+x-2}$. Тогда $x^2+x-2 = t^2$. По определению корня, $t \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$t^2 - t - 6 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только корень $t_1=3$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2+x-2} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2+x-2 = 9$

$x^2+x-11 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 1 + 44 = 45$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{-1 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.

Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ: $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$.

Корень $x_1 = \frac{-1+3\sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1+3 \cdot 2.24}{2} = \frac{5.72}{2} = 2.86$. Так как $2.86 \ge 1$, этот корень подходит.

Корень $x_2 = \frac{-1-3\sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1-6.72}{2} = \frac{-7.72}{2} = -3.86$. Так как $-3.86 \le -2$, этот корень также подходит.

Ответ: $\frac{-1 - 3\sqrt{5}}{2}; \frac{-1 + 3\sqrt{5}}{2}$.