Номер 29.8, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.8. Найдите область определения функции:

1) $y = \arccos (x + 2);$

2) $y = \arcsin\sqrt{x};$

3) $y = \mathrm{arctg}\sqrt{x - 3};$

4) $y = \mathrm{arcctg} (5 - x);$

5) $y = \mathrm{arcctg} \frac{\pi}{x + 7};$

6) $y = \arcsin(x - 1) + \mathrm{arctg}\sqrt{x}.$

1) Для функции $y = \arccos(x + 2)$.
Область определения функции арккосинус, $y = \arccos(t)$, есть отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, аргумент функции, выражение $x + 2$, должен удовлетворять двойному неравенству:
$-1 \le x + 2 \le 1$.
Вычтем 2 из всех частей неравенства, чтобы найти $x$:
$-1 - 2 \le x + 2 - 2 \le 1 - 2$
$-3 \le x \le -1$.
Таким образом, область определения функции – это отрезок $x \in [-3; -1]$.
Ответ: $[-3; -1]$.

2) Для функции $y = \arcsin\sqrt{x}$.
Область определения этой функции находится из системы двух условий:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Аргумент функции арксинус должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$: $-1 \le \sqrt{x} \le 1$.
Поскольку квадратный корень по определению является неотрицательной величиной ($\sqrt{x} \ge 0$), второе неравенство эквивалентно следующему:
$0 \le \sqrt{x} \le 1$.
Чтобы избавиться от корня, возведем все части этого неравенства в квадрат:
$0^2 \le (\sqrt{x})^2 \le 1^2$
$0 \le x \le 1$.
Теперь необходимо найти пересечение решений обоих условий: $x \ge 0$ и $0 \le x \le 1$. Общим решением является отрезок $[0; 1]$.
Ответ: $[0; 1]$.

3) Для функции $y = \operatorname{arctg}\sqrt{x - 3}$.
Область определения функции арктангенс, $y = \operatorname{arctg}(t)$, – это все действительные числа. Поэтому единственное ограничение на область определения накладывает квадратный корень.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$x - 3 \ge 0$.
Решая это простое неравенство, получаем:
$x \ge 3$.
Следовательно, область определения функции – это числовой луч $[3; +\infty)$.
Ответ: $[3; +\infty)$.

4) Для функции $y = \operatorname{arcctg}(5 - x)$.
Область определения функции арккотангенс, $y = \operatorname{arcctg}(t)$, – это множество всех действительных чисел ($t \in \mathbb{R}$).
Аргумент функции, выражение $5 - x$, может принимать любое действительное значение. Следовательно, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.
Область определения – все действительные числа.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

5) Для функции $y = \operatorname{arcctg}\frac{\pi}{x + 7}$.
Так же, как и арктангенс, функция арккотангенс определена для любого действительного аргумента. Ограничение возникает из-за того, что аргумент является дробью, а на ноль делить нельзя.
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$x + 7 \ne 0$.
Отсюда $x \ne -7$.
Таким образом, область определения – это все действительные числа, кроме $-7$.
Ответ: $(-\infty; -7) \cup (-7; +\infty)$.

6) Для функции $y = \arcsin(x - 1) + \operatorname{arctg}\sqrt{x}$.
Область определения данной функции является пересечением областей определения двух слагаемых: $y_1 = \arcsin(x - 1)$ и $y_2 = \operatorname{arctg}\sqrt{x}$.
1. Найдем область определения для $y_1 = \arcsin(x - 1)$.
Аргумент арксинуса должен лежать в пределах от -1 до 1 включительно:
$-1 \le x - 1 \le 1$.
Прибавим 1 ко всем частям двойного неравенства:
$0 \le x \le 2$.
Итак, область определения первого слагаемого: $D_1 = [0; 2]$.
2. Найдем область определения для $y_2 = \operatorname{arctg}\sqrt{x}$.
Арктангенс определен для любых значений, поэтому ограничение накладывается только на подкоренное выражение:
$x \ge 0$.
Область определения второго слагаемого: $D_2 = [0; +\infty)$.
3. Область определения исходной функции есть пересечение найденных областей $D_1$ и $D_2$:
$D(y) = D_1 \cap D_2 = [0; 2] \cap [0; +\infty) = [0; 2]$.
Ответ: $[0; 2]$.