Номер 29.3, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.3. Вычислите:

1) $ctg\left(\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}\right);$

2) $cos(2\arctg1);$

3) $cos\left(\frac{1}{2}\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

4) $ctg(2\arcctg(-\sqrt{3}));$

5) $sin\left(3\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right);$

6) $sin\left(\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\arctg1\right).$

1) $ \mathrm{ctg}(\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}) $

Сначала вычислим значение внутреннего выражения. Арксинус числа $a$ (обозначается $\arcsin a$) — это угол $ \alpha $ из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $a$.

В нашем случае, $ \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} $ - это угол, синус которого равен $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Из таблицы стандартных тригонометрических значений мы знаем, что $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Угол $ \frac{\pi}{4} $ принадлежит промежутку $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $.

Следовательно, $ \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} $.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$ \mathrm{ctg}(\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}) = \mathrm{ctg}(\frac{\pi}{4}) $

Значение котангенса угла $ \frac{\pi}{4} $ равно 1.

$ \mathrm{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1 $

Ответ: 1

2) $ \cos(2\operatorname{arctg}1) $

Сначала вычислим значение $ \operatorname{arctg}1 $. Арктангенс числа $a$ (обозначается $ \operatorname{arctg} a $) — это угол $ \alpha $ из промежутка $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен $a$.

Угол, тангенс которого равен 1, это $ \frac{\pi}{4} $. Этот угол принадлежит промежутку $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $.

Значит, $ \operatorname{arctg}1 = \frac{\pi}{4} $.

Подставляем это значение в выражение:

$ \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2}) $

Значение косинуса угла $ \frac{\pi}{2} $ равно 0.

$ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $

Ответ: 0

3) $ \cos(\frac{1}{2}\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}) $

Вычислим значение $ \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} $. Это угол из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Этот угол равен $ \frac{\pi}{3} $.

Подставляем найденное значение:

$ \cos(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{6}) $

Значение косинуса угла $ \frac{\pi}{6} $ равно $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

$ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

4) $ \mathrm{ctg}(2\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})) $

Сначала найдём значение $ \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) $. Арккотангенс числа $a$ (обозначается $ \operatorname{arcctg} a $) — это угол $ \alpha $ из промежутка $ (0; \pi) $, котангенс которого равен $a$.

Используем свойство арккотангенса: $ \operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x) $.
Мы знаем, что $ \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} $.

Следовательно, $ \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$ \mathrm{ctg}(2 \cdot \frac{5\pi}{6}) = \mathrm{ctg}(\frac{5\pi}{3}) $

Угол $ \frac{5\pi}{3} $ можно представить как $ 2\pi - \frac{\pi}{3} $. Используя периодичность котангенса, получаем:

$ \mathrm{ctg}(\frac{5\pi}{3}) = \mathrm{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \mathrm{ctg}(-\frac{\pi}{3}) $

Так как котангенс — нечетная функция, $ \mathrm{ctg}(-x) = -\mathrm{ctg}(x) $:

$ -\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} $

Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $

5) $ \sin(3\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})) $

Вычислим значение $ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) $. Используем свойство нечетности арксинуса: $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $.

$ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} $

Подставим это значение в выражение:

$ \sin(3 \cdot (-\frac{\pi}{3})) = \sin(-\pi) $

Синус угла $ -\pi $ равен 0.

$ \sin(-\pi) = 0 $

Ответ: 0

6) $ \sin(\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\operatorname{arctg}1) $

Вычислим значения обратных тригонометрических функций по отдельности:

$ \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} $

$ \operatorname{arctg}1 = \frac{\pi}{4} $

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$ \sin(\frac{\pi}{4} + 2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}) $

Сложим углы в скобках:

$ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $

Теперь вычислим $ \sin(\frac{3\pi}{4}) $. Угол $ \frac{3\pi}{4} $ находится во второй четверти. Его можно представить как $ \pi - \frac{\pi}{4} $.

$ \sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) $

По формуле приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $:

$ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $