Номер 2, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Какова область значений функции $y = \arccos x? y = \arcsin x?$

$y = \text{arctg } x? y = \text{arcctg } x?$

Область значений обратной функции — это множество, на которое была сужена область определения исходной функции, чтобы сделать ее обратимой (монотонной). Функция $y = \arccos x$ является обратной к функции $y = \cos x$. Функция косинуса периодична, и для построения обратной для нее функции выбирают промежуток монотонности. По соглашению, для функции $y = \cos x$ выбирается отрезок $[0, \pi]$. На этом отрезке косинус монотонно убывает и принимает все возможные значения от $-1$ до $1$. Следовательно, по определению арккосинуса, его область значений (множество всех значений $y$) — это именно этот отрезок. То есть, $y = \arccos x$ — это такое число (угол) из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $x$.

Ответ: Область значений функции $y = \arccos x$ есть отрезок $[0, \pi]$.

Функция $y = \arcsin x$ является обратной к функции $y = \sin x$. Функция синуса также является периодической. Чтобы обеспечить ее монотонность и, соответственно, существование обратной функции, для синуса по стандарту выбирается отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. На этом отрезке $y = \sin x$ монотонно возрастает, пробегая все значения от $-1$ до $1$. Таким образом, по определению арксинуса, его область значений совпадает с этим отрезком. То есть, $y = \arcsin x$ — это такое число (угол) из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$.

Ответ: Область значений функции $y = \arcsin x$ есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Функция $y = \operatorname{arctg} x$ (арктангенс) является обратной к функции $y = \operatorname{tg} x$ (тангенс). Функция тангенса периодична с периодом $\pi$. Чтобы определить для нее обратную функцию, выбирают один из промежутков монотонности. Стандартным выбором является интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. На этом интервале $y = \operatorname{tg} x$ монотонно возрастает и принимает все значения из множества действительных чисел $(-\infty, +\infty)$. Следовательно, область значений функции арктангенс — это интервал, на котором рассматривался тангенс. То есть, $y = \operatorname{arctg} x$ — это такое число (угол) из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$.

Ответ: Область значений функции $y = \operatorname{arctg} x$ есть интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Функция $y = \operatorname{arcctg} x$ (арккотангенс) является обратной к функции $y = \operatorname{ctg} x$ (котангенс). Функция котангенса также периодическая с периодом $\pi$. Для нахождения обратной функции для нее выбирается промежуток монотонности. Для котангенса стандартно выбирают интервал $(0, \pi)$. На этом интервале $y = \operatorname{ctg} x$ монотонно убывает и принимает все значения из множества действительных чисел $(-\infty, +\infty)$. Поэтому, по определению, область значений функции арккотангенс — это интервал $(0, \pi)$. То есть, $y = \operatorname{arcctg} x$ — это такое число (угол) из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $x$.

Ответ: Область значений функции $y = \operatorname{arcctg} x$ есть интервал $(0, \pi)$.