Номер 28.7, страница 205 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.7. Сколько корней уравнения $tg 4x = 1$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$?

Для решения задачи сначала найдем общее решение тригонометрического уравнения $\text{tg}(4x) = 1$.

Общее решение для уравнения вида $\text{tg}(u) = a$ записывается как $u = \text{arctg}(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В данном уравнении $u = 4x$ и $a = 1$. Мы знаем, что значение арктангенса единицы равно $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляя эти значения в общую формулу, получаем: $4x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо определить, сколько из этих корней принадлежит заданному промежутку $[0; \pi]$. Для этого нужно найти все целые значения $k$, при которых выполняется следующее двойное неравенство:

$0 \le x \le \pi$

Подставим в него найденное выражение для $x$:

$0 \le \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4} \le \pi$

Чтобы решить это неравенство относительно $k$, разделим все его части на положительное число $\pi$:

$0 \le \frac{1}{16} + \frac{k}{4} \le 1$

Далее вычтем $\frac{1}{16}$ из всех частей неравенства:

$0 - \frac{1}{16} \le \frac{k}{4} \le 1 - \frac{1}{16}$

$-\frac{1}{16} \le \frac{k}{4} \le \frac{15}{16}$

Наконец, умножим все части неравенства на 4, чтобы найти диапазон для $k$:

$4 \cdot \left(-\frac{1}{16}\right) \le k \le 4 \cdot \frac{15}{16}$

$-\frac{4}{16} \le k \le \frac{60}{16}$

Упростив дроби, получаем:

$-\frac{1}{4} \le k \le \frac{15}{4}$

Или в десятичном виде:

$-0.25 \le k \le 3.75$

Поскольку по определению $k$ должно быть целым числом ($k \in \mathbb{Z}$), то в найденном диапазоне находятся следующие целые значения: $k = 0, 1, 2, 3$.

Каждое из этих четырех значений $k$ дает уникальный корень уравнения, принадлежащий промежутку $[0; \pi]$. Следовательно, на данном промежутке существует 4 корня.

Ответ: 4