Страница 205 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1) $ \operatorname{tg} 2x = 1; $

2) $ \operatorname{tg} \frac{x}{3} = \frac{1}{3}; $

3) $ \operatorname{tg} \left(-\frac{7x}{4}\right) = \sqrt{3}; $

4) $ \operatorname{ctg} \frac{x}{2} = 0; $

5) $ \operatorname{ctg} 6x = \frac{6}{11}; $

6) $ \operatorname{ctg} (-9x) = \frac{\sqrt{3}}{3}. $

1) Исходное уравнение: $\tg(2x) = 1$.
Общее решение уравнения вида $\tg(y) = a$ записывается как $y = \arctan(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $y = 2x$ и $a = 1$.
Так как $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем:
$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$
Для нахождения $x$ разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $\tg\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{1}{3}$.
Используем общую формулу решения для тангенса: $y = \arctan(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $y = \frac{x}{3}$ и $a = \frac{1}{3}$. Поскольку $\frac{1}{3}$ не является стандартным табличным значением, решение записывается с использованием функции арктангенса.
$\frac{x}{3} = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n$
Чтобы выразить $x$, умножим обе части уравнения на 3:
$x = 3\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 3\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + 3\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $\tg\left(-\frac{7x}{4}\right) = \sqrt{3}$.
Воспользуемся свойством нечетности тангенса: $\tg(-z) = -\tg(z)$.
$-\tg\left(\frac{7x}{4}\right) = \sqrt{3}$
$\tg\left(\frac{7x}{4}\right) = -\sqrt{3}$
Применяем общую формулу $y = \arctan(a) + \pi n$, где $y = \frac{7x}{4}$ и $a = -\sqrt{3}$.
Так как $\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, получаем:
$\frac{7x}{4} = -\frac{\pi}{3} + \pi n$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{4}{7}$:
$x = \frac{4}{7}\left(-\frac{\pi}{3} + \pi n\right) = -\frac{4\pi}{21} + \frac{4\pi n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{4\pi}{21} + \frac{4\pi n}{7}$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $\ctg\left(\frac{x}{2}\right) = 0$.
Общее решение уравнения вида $\ctg(y) = a$ записывается как $y = \text{arccot}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $y = \frac{x}{2}$ и $a = 0$.
Так как $\text{arccot}(0) = \frac{\pi}{2}$, получаем:
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$
Для нахождения $x$ умножим обе части уравнения на 2:
$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

5) Исходное уравнение: $\ctg(6x) = \frac{6}{11}$.
Используем общую формулу решения для котангенса: $y = \text{arccot}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $y = 6x$ и $a = \frac{6}{11}$. Поскольку $\frac{6}{11}$ не является стандартным табличным значением, решение записывается с использованием функции арккотангенса.
$6x = \text{arccot}\left(\frac{6}{11}\right) + \pi n$
Чтобы выразить $x$, разделим обе части уравнения на 6:
$x = \frac{1}{6}\text{arccot}\left(\frac{6}{11}\right) + \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{1}{6}\text{arccot}\left(\frac{6}{11}\right) + \frac{\pi n}{6}$, $n \in \mathbb{Z}$.

6) Исходное уравнение: $\ctg(-9x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Воспользуемся свойством нечетности котангенса: $\ctg(-z) = -\ctg(z)$.
$-\ctg(9x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\ctg(9x) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Применяем общую формулу $y = \text{arccot}(a) + \pi n$, где $y = 9x$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Так как $\text{arccot}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:
$9x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 9:
$x = \frac{2\pi}{27} + \frac{\pi n}{9}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{2\pi}{27} + \frac{\pi n}{9}$, $n \in \mathbb{Z}$.

28.4. Решите уравнение:

1) $tg \frac{3}{5}x = 0;$

2) $ctg \frac{x}{2} = -\sqrt{3};$

3) $ctg \frac{3}{2}x = 5.$

1) Решим уравнение $tg\frac{3}{5}x = 0$.

Это частный случай тригонометрического уравнения вида $tg(t) = 0$. Общее решение для такого уравнения: $t = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

В нашем случае аргумент тангенса $t = \frac{3}{5}x$.

Приравниваем аргумент к общему решению:

$\frac{3}{5}x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{5}{3}$:

$x = \pi n \cdot \frac{5}{3}$

$x = \frac{5\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{5\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $ctg\frac{x}{2} = -\sqrt{3}$.

Общее решение уравнения вида $ctg(t) = a$ дается формулой $t = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $t = \frac{x}{2}$ и $a = -\sqrt{3}$.

Найдем значение арккотангенса. Используем свойство $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$:

$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3})$

Так как $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, то $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

Теперь подставим найденное значение в общее решение для аргумента $t$:

$\frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:

$x = 2 \cdot \left(\frac{5\pi}{6} + \pi n\right)$

$x = \frac{2 \cdot 5\pi}{6} + 2\pi n$

$x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $ctg\frac{3}{2}x = 5$.

Используем общую формулу для решения уравнений с котангенсом: $t = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{3}{2}x$ и $a = 5$.

Число 5 не является стандартным табличным значением для котангенса, поэтому значение $arcctg(5)$ оставляем в символьном виде.

Составляем уравнение для аргумента:

$\frac{3}{2}x = arcctg(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Для того чтобы выразить $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{2}{3}$:

$x = \frac{2}{3} \cdot (arcctg(5) + \pi n)$

$x = \frac{2}{3}arcctg(5) + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{2}{3}arcctg(5) + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

28.5. Решите уравнение:

1) $tg\left(3x - \frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

2) $tg(3 - 2x) = 2$;

3) $\sqrt{3} \text{ctg}\left(5x + \frac{\pi}{3}\right) + 3 = 0$;

4) $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

1) Решим уравнение $tg(3x - \frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Общее решение для уравнения вида $tg(y) = a$ записывается как $y = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае аргумент $y = 3x - \frac{\pi}{12}$, а значение $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Мы знаем, что $arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем эти значения в общую формулу:

$3x - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Теперь выразим $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{12}$ в правую часть:

$3x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$3x = \frac{2\pi}{12} + \frac{\pi}{12} + \pi n$

$3x = \frac{3\pi}{12} + \pi n$

$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $tg(3 - 2x) = 2$.

Используем ту же общую формулу $y = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $y = 3 - 2x$ и $a = 2$. Так как 2 не является табличным значением для тангенса, решение будет содержать арктангенс этого числа.

$3 - 2x = arctg(2) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$-2x = arctg(2) - 3 + \pi n$

Умножим обе части на -1. При этом, поскольку $n$ пробегает все целые числа, мы можем заменить $-\pi n$ на $+\pi k$, где $k = -n$ также пробегает все целые числа.

$2x = 3 - arctg(2) - \pi n = 3 - arctg(2) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{3 - arctg(2)}{2} + \frac{\pi k}{2} = \frac{3}{2} - \frac{arctg(2)}{2} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}arctg(2) + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\sqrt{3} ctg(5x + \frac{\pi}{3}) + 3 = 0$.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить котангенс:

$\sqrt{3} ctg(5x + \frac{\pi}{3}) = -3$

$ctg(5x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{3}{\sqrt{3}}$

Упростим правую часть, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$ctg(5x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{3\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}$

Общее решение для уравнения вида $ctg(y) = a$ записывается как $y = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = 5x + \frac{\pi}{3}$ и $a = -\sqrt{3}$. Мы знаем, что $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляем в общую формулу:

$5x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$5x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n$

$5x = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi n$

$5x = \frac{3\pi}{6} + \pi n$

$5x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $ctg(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Используем общую формулу для котангенса $y = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $y = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{3}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Мы знаем, что $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу:

$\frac{\pi}{4} - \frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$. Сначала изолируем член с $x$:

$-\frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$-\frac{x}{3} = \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + \pi n$

$-\frac{x}{3} = \frac{\pi}{12} + \pi n$

Умножим обе части на -3:

$x = -3 \cdot (\frac{\pi}{12} + \pi n) = -\frac{3\pi}{12} - 3\pi n$

Упростим и заменим $-3\pi n$ на $+3\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$:

$x = -\frac{\pi}{4} + 3\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + 3\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

28.6. Решите уравнение:

1) $\text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1;$

2) $\text{ctg}(4 - 3x) = 2;$

3) $3\text{tg}(3x + 1) - \sqrt{3} = 0.$

1) Дано уравнение $\operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{4}) = 1$.

Это уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением вида $\operatorname{tg}(y) = a$. Его общее решение находится по формуле $y = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

В данном случае аргумент тангенса $y = x + \frac{\pi}{4}$, а значение $a = 1$.

Найдем значение арктангенса: $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставим известные значения в общую формулу решения:

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Теперь выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{4}$ из левой части в правую с противоположным знаком:

$x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\operatorname{ctg}(4 - 3x) = 2$.

Это уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением вида $\operatorname{ctg}(y) = a$. Его общее решение находится по формуле $y = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае аргумент котангенса $y = 4 - 3x$, а значение $a = 2$.

Подставим известные значения в общую формулу решения:

$4 - 3x = \operatorname{arcctg}(2) + \pi n$

Теперь выразим $x$. Сначала изолируем слагаемое с $x$:

$-3x = \operatorname{arcctg}(2) - 4 + \pi n$

Разделим обе части уравнения на -3:

$x = \frac{\operatorname{arcctg}(2) - 4 + \pi n}{-3}$

Упростим выражение, разделив каждый член числителя на -3:

$x = -\frac{\operatorname{arcctg}(2)}{3} + \frac{4}{3} - \frac{\pi n}{3}$

Запишем в более привычном порядке:

$x = \frac{4}{3} - \frac{1}{3}\operatorname{arcctg}(2) - \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{4}{3} - \frac{1}{3}\operatorname{arcctg}(2) - \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $3\operatorname{tg}(3x + 1) - \sqrt{3} = 0$.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы привести его к стандартному виду $\operatorname{tg}(y) = a$.

Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть:

$3\operatorname{tg}(3x + 1) = \sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на 3:

$\operatorname{tg}(3x + 1) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Теперь у нас есть простейшее тригонометрическое уравнение, где $y = 3x + 1$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Общее решение: $y = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем значение арктангенса: $\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставим значения в формулу:

$3x + 1 = \frac{\pi}{6} + \pi n$

Выразим $x$. Сначала перенесем 1 в правую часть:

$3x = \frac{\pi}{6} - 1 + \pi n$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\frac{\pi}{6} - 1 + \pi n}{3}$

Упростим выражение:

$x = \frac{\pi}{18} - \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{18} - \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

28.7. Сколько корней уравнения $tg 4x = 1$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$?

Для решения задачи сначала найдем общее решение тригонометрического уравнения $\text{tg}(4x) = 1$.

Общее решение для уравнения вида $\text{tg}(u) = a$ записывается как $u = \text{arctg}(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В данном уравнении $u = 4x$ и $a = 1$. Мы знаем, что значение арктангенса единицы равно $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляя эти значения в общую формулу, получаем: $4x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо определить, сколько из этих корней принадлежит заданному промежутку $[0; \pi]$. Для этого нужно найти все целые значения $k$, при которых выполняется следующее двойное неравенство:

$0 \le x \le \pi$

Подставим в него найденное выражение для $x$:

$0 \le \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4} \le \pi$

Чтобы решить это неравенство относительно $k$, разделим все его части на положительное число $\pi$:

$0 \le \frac{1}{16} + \frac{k}{4} \le 1$

Далее вычтем $\frac{1}{16}$ из всех частей неравенства:

$0 - \frac{1}{16} \le \frac{k}{4} \le 1 - \frac{1}{16}$

$-\frac{1}{16} \le \frac{k}{4} \le \frac{15}{16}$

Наконец, умножим все части неравенства на 4, чтобы найти диапазон для $k$:

$4 \cdot \left(-\frac{1}{16}\right) \le k \le 4 \cdot \frac{15}{16}$

$-\frac{4}{16} \le k \le \frac{60}{16}$

Упростив дроби, получаем:

$-\frac{1}{4} \le k \le \frac{15}{4}$

Или в десятичном виде:

$-0.25 \le k \le 3.75$

Поскольку по определению $k$ должно быть целым числом ($k \in \mathbb{Z}$), то в найденном диапазоне находятся следующие целые значения: $k = 0, 1, 2, 3$.

Каждое из этих четырех значений $k$ дает уникальный корень уравнения, принадлежащий промежутку $[0; \pi]$. Следовательно, на данном промежутке существует 4 корня.

Ответ: 4

28.8. Сколько корней уравнения $\text{ctg} \frac{x}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ принадлежат промежутку $[ -\frac{\pi}{2}; 2\pi ]?$

Для решения задачи сначала найдем общее решение тригонометрического уравнения $\text{ctg}\frac{x}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Общее решение для уравнения $\text{ctg}(y) = a$ записывается в виде $y = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).В данном уравнении $y = \frac{x}{3}$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Найдем значение арккотангенса. Известно, что $\text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$. Для отрицательного аргумента используется формула $\text{arcctg}(-a) = \pi - \text{arcctg}(a)$.Следовательно, $\text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Теперь мы можем записать решение для $\frac{x}{3}$:$\frac{x}{3} = \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части равенства на 3:$x = 3 \cdot (\frac{2\pi}{3} + \pi n)$$x = 2\pi + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Это общее решение уравнения. Далее нам нужно найти, какие из этих корней принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 2\pi]$. Для этого составим и решим двойное неравенство:$-\frac{\pi}{2} \le x \le 2\pi$.

Подставим в него найденное выражение для $x$:$-\frac{\pi}{2} \le 2\pi + 3\pi n \le 2\pi$.

Для упрощения разделим все части неравенства на $\pi$ (так как $\pi > 0$, знаки неравенства сохраняются):$-\frac{1}{2} \le 2 + 3n \le 2$.

Вычтем 2 из всех частей неравенства:$-\frac{1}{2} - 2 \le 3n \le 2 - 2$$-\frac{5}{2} \le 3n \le 0$.

Теперь разделим все части на 3:$-\frac{5}{6} \le n \le 0$.

Поскольку $n$ должно быть целым числом, нам нужно найти все целые $n$, удовлетворяющие этому неравенству. В промежутке от $-\frac{5}{6}$ (приблизительно -0.83) до 0 находится только одно целое число: $n = 0$.

Таким образом, только при $n=0$ корень уравнения попадает в заданный промежуток. Найдем этот корень:$x = 2\pi + 3\pi \cdot 0 = 2\pi$.

Корень $x = 2\pi$ действительно принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 2\pi]$, так как он является его правой границей.

Следовательно, на заданном промежутке уравнение имеет только один корень.

Ответ: 1.

28.9. Найдите сумму корней уравнения $ctg2x = -\sqrt{3}$, принадлежащих про-межутку $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$.

Сначала решим тригонометрическое уравнение $ctg(2x) = -\sqrt{3}$.

Общее решение уравнения вида $ctg(y) = a$ записывается формулой $y = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (множество целых чисел).

В данном уравнении $y = 2x$ и $a = -\sqrt{3}$. Найдем значение арккотангенса:

$\text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \text{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Подставим это значение в формулу общего решения:

$2x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выразим $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Далее необходимо найти все корни, которые принадлежат промежутку $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$. Для этого решим двойное неравенство относительно $n$:

$-\pi \le \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} \le \frac{\pi}{2}$

Разделим все части неравенства на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знаки неравенства не меняются):

$-1 \le \frac{5}{12} + \frac{n}{2} \le \frac{1}{2}$

Вычтем $\frac{5}{12}$ из всех частей неравенства:

$-1 - \frac{5}{12} \le \frac{n}{2} \le \frac{1}{2} - \frac{5}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$-\frac{12}{12} - \frac{5}{12} \le \frac{n}{2} \le \frac{6}{12} - \frac{5}{12}$

$-\frac{17}{12} \le \frac{n}{2} \le \frac{1}{12}$

Умножим все части неравенства на 2:

$-\frac{17 \cdot 2}{12} \le n \le \frac{1 \cdot 2}{12}$

$-\frac{17}{6} \le n \le \frac{1}{6}$

Представим границы в виде десятичных дробей:

$-2,8\overline{3} \le n \le 0,1\overline{6}$

Поскольку $n$ — целое число, то в этом диапазоне находятся следующие значения: $n = -2$, $n = -1$, $n = 0$.

Теперь найдем соответствующие этим значениям $n$ корни уравнения:

• При $n = -2$: $x_1 = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi(-2)}{2} = \frac{5\pi}{12} - \pi = \frac{5\pi - 12\pi}{12} = -\frac{7\pi}{12}$.
• При $n = -1$: $x_2 = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi(-1)}{2} = \frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi - 6\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$.
• При $n = 0$: $x_3 = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi(0)}{2} = \frac{5\pi}{12}$.

Мы нашли все корни, принадлежащие заданному промежутку: $-\frac{7\pi}{12}$, $-\frac{\pi}{12}$ и $\frac{5\pi}{12}$.

Осталось найти их сумму:

Сумма = $x_1 + x_2 + x_3 = \left(-\frac{7\pi}{12}\right) + \left(-\frac{\pi}{12}\right) + \frac{5\pi}{12} = \frac{-7\pi - \pi + 5\pi}{12} = \frac{-3\pi}{12} = -\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.

28.10. Найдите сумму корней уравнения $tg \frac{x}{2} = \sqrt{3}$, принадлежащих промежутку $[-2\pi; \frac{3\pi}{2}]$.

Сначала решим тригонометрическое уравнение $\text{tg}\frac{x}{2} = \sqrt{3}$.

Общее решение уравнения вида $\text{tg}(a) = b$ записывается как $a = \text{arctg}(b) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{x}{2}$ и $b = \sqrt{3}$. Мы знаем, что $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляя эти значения, получаем:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы выразить $x$, умножим обе части уравнения на 2:

$x = 2 \cdot (\frac{\pi}{3} + \pi n) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо найти все корни, которые принадлежат заданному промежутку $[-2\pi; \frac{3\pi}{2}]$. Для этого решим двойное неравенство относительно $n$:

$-2\pi \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le \frac{3\pi}{2}$

Разделим все части неравенства на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знаки неравенства сохраняются):

$-2 \le \frac{2}{3} + 2n \le \frac{3}{2}$

Вычтем $\frac{2}{3}$ из всех частей неравенства:

$-2 - \frac{2}{3} \le 2n \le \frac{3}{2} - \frac{2}{3}$

$-\frac{6}{3} - \frac{2}{3} \le 2n \le \frac{9}{6} - \frac{4}{6}$

$-\frac{8}{3} \le 2n \le \frac{5}{6}$

Теперь разделим все части на 2:

$-\frac{8}{3 \cdot 2} \le n \le \frac{5}{6 \cdot 2}$

$-\frac{4}{3} \le n \le \frac{5}{12}$

В виде десятичных дробей это неравенство выглядит так: $-1,33... \le n \le 0,41...$.

Целые числа $n$, которые удовлетворяют этому условию, это $n = -1$ и $n = 0$.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого из этих $n$:

1. При $n = -1$:

$x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi(-1) = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{2\pi - 6\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}$.

Проверим, принадлежит ли этот корень промежутку $[-2\pi; \frac{3\pi}{2}]$. $-2\pi = -\frac{6\pi}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{4,5\pi}{3}$. Так как $-\frac{6\pi}{3} \le -\frac{4\pi}{3} \le \frac{4,5\pi}{3}$, корень принадлежит промежутку.

2. При $n = 0$:

$x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi(0) = \frac{2\pi}{3}$.

Проверим, принадлежит ли этот корень промежутку $[-2\pi; \frac{3\pi}{2}]$. Так как $-2\pi \le \frac{2\pi}{3} \le \frac{3\pi}{2}$, этот корень также принадлежит промежутку.

Итак, мы нашли два корня, принадлежащих заданному промежутку: $-\frac{4\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.

Найдем их сумму:

Сумма = $x_1 + x_2 = -\frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-4\pi + 2\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$.

28.11. Графики каких из данных функций симметричны относительно оси ординат:

1) $f(x) = \frac{4 - x^2}{\cos 2x}$;

2) $f(x) = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$;

3) $f(x) = \sqrt[4]{2 - x} + \sqrt[4]{2 + x}$;

4) $f(x) = x^2 \operatorname{tg} x? $

График функции симметричен относительно оси ординат, если функция является четной. Функция $f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется два условия:

1. Ее область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Проверим каждую из предложенных функций на четность.

1) $f(x) = \frac{4 - x^2}{\cos 2x}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $\cos 2x \neq 0$. Это означает, что $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$. Данная область определения симметрична относительно начала координат.

Теперь проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:

$f(-x) = \frac{4 - (-x)^2}{\cos(2(-x))} = \frac{4 - x^2}{\cos(-2x)}$

Поскольку функция косинус является четной, то есть $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, имеем $\cos(-2x) = \cos(2x)$.

Таким образом, $f(-x) = \frac{4 - x^2}{\cos 2x} = f(x)$.

Условие четности выполняется, значит, график этой функции симметричен относительно оси ординат.

Ответ: график функции симметричен относительно оси ординат.

2) $f(x) = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$

Область определения функции задается условием $1 + \cos x \neq 0$, то есть $\cos x \neq -1$. Это означает, что $x \neq \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:

$f(-x) = \frac{\sin(-x)}{1 + \cos(-x)}$

Используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ (нечетная) и $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ (четная).

$f(-x) = \frac{-\sin x}{1 + \cos x} = -f(x)$

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат, а не оси ординат.

Ответ: график функции не симметричен относительно оси ординат.

3) $f(x) = \sqrt[4]{2 - x} + \sqrt[4]{2 + x}$

Область определения функции находится из условия, что подкоренные выражения корня четной степени должны быть неотрицательными:

$2 - x \ge 0 \implies x \le 2$

$2 + x \ge 0 \implies x \ge -2$

Следовательно, область определения $D(f) = [-2; 2]$. Этот отрезок симметричен относительно начала координат.

Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:

$f(-x) = \sqrt[4]{2 - (-x)} + \sqrt[4]{2 + (-x)} = \sqrt[4]{2 + x} + \sqrt[4]{2 - x}$

От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется, поэтому $f(-x) = f(x)$.

Функция является четной, следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат.

Ответ: график функции симметричен относительно оси ординат.

4) $f(x) = x^2 \operatorname{tg} x$

Область определения функции тангенс: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична относительно начала координат.

Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:

$f(-x) = (-x)^2 \operatorname{tg}(-x)$

Мы знаем, что $(-x)^2 = x^2$ и $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$ (тангенс - нечетная функция).

$f(-x) = x^2 (-\operatorname{tg} x) = -x^2 \operatorname{tg} x = -f(x)$

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ: график функции не симметричен относительно оси ординат.

Итоговый вывод: графики функций 1) и 3) симметричны относительно оси ординат.