Страница 199 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. При каких значениях b имеет корни уравнение $sin x = b$?

1. Уравнение $\sin x = b$ имеет корни тогда и только тогда, когда число $b$ принадлежит множеству значений функции $y = \sin x$.

Рассмотрим функцию $y = \sin x$. По определению, синус является одной из основных тригонометрических функций. Область значений этой функции — это все возможные значения, которые может принимать $y$.

График функции $y = \sin x$ (синусоида) представляет собой волнистую кривую, которая колеблется между минимальным значением $-1$ и максимальным значением $1$. Это означает, что для любого действительного аргумента $x$ значение $\sin x$ всегда будет находиться в этом диапазоне.

Также это можно увидеть на единичной окружности. Синус угла $x$ — это ордината (координата $y$) точки на единичной окружности. Поскольку радиус окружности равен $1$, самая высокая точка имеет ординату $1$, а самая низкая — ординату $-1$. Все остальные точки на окружности имеют ординаты между $-1$ и $1$.

Таким образом, множество значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-1 \le \sin x \le 1$.

Чтобы уравнение $\sin x = b$ имело решение (корень), правая часть уравнения, то есть $b$, должна попадать в область значений левой части. Следовательно, должно выполняться условие:

$-1 \le b \le 1$

Если значение $b$ выходит за эти пределы (то есть $|b| > 1$, что означает $b > 1$ или $b < -1$), то уравнение $\sin x = b$ не будет иметь действительных корней.

Ответ: $-1 \le b \le 1$, или в виде интервала $b \in [-1; 1]$.

2. Сколько корней имеет уравнение $ \sin x = b $ при $ |b| \le 1 $?

1.

Уравнение $\sin x = b$ имеет корни тогда и только тогда, когда значение $b$ принадлежит области значений функции $y = \sin x$.

Функция синуса определена для всех действительных чисел $x$, а ее область значений представляет собой отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого угла $x$ значение его синуса не может быть меньше -1 и не может быть больше 1.

Следовательно, чтобы уравнение $\sin x = b$ имело хотя бы один действительный корень, правая часть уравнения, $b$, должна принимать значения из этого отрезка.

Это условие математически записывается в виде двойного неравенства: $$-1 \le b \le 1$$ Или, с использованием модуля: $$|b| \le 1$$ Если же $|b| > 1$ (то есть $b > 1$ или $b < -1$), то уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Уравнение имеет корни при $b \in [-1, 1]$, или $|b| \le 1$.

2.

Чтобы определить количество корней уравнения $\sin x = b$ при условии $|b| \le 1$, необходимо учесть, что функция $y = \sin x$ является периодической с основным периодом $2\pi$. Это свойство означает, что если у уравнения есть хотя бы один корень, то их будет бесконечное множество, так как значения функции повторяются на каждом периоде. Рассмотрим различные случаи для $b$.

Случай 1: $|b| < 1$ (то есть $-1 < b < 1$)
В этом случае на любом отрезке длиной $2\pi$ (например, на $[0, 2\pi)$) горизонтальная прямая $y=b$ пересекает синусоиду в двух различных точках. Эти два решения, назовем их $x_1$ и $x_2$, порождают две бесконечные серии корней на всей числовой прямой:

• $x = \arcsin b + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$
• $x = \pi - \arcsin b + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

Общая формула для всех корней в этом случае: $x = (-1)^k \arcsin b + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Поскольку $k$ может принимать любое целое значение, в каждой серии содержится бесконечное число корней. Таким образом, при $|b| < 1$ уравнение имеет бесконечно много корней.

Случай 2: $|b| = 1$ (то есть $b=1$ или $b=-1$)
В этом случае прямая $y=b$ касается вершин синусоиды.

• Если $b=1$, уравнение $\sin x = 1$ имеет на отрезке $[0, 2\pi)$ единственный корень $x = \frac{\pi}{2}$. Все решения на числовой прямой образуют одну бесконечную серию: $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$$
• Если $b=-1$, уравнение $\sin x = -1$ имеет на отрезке $[0, 2\pi)$ единственный корень $x = \frac{3\pi}{2}$. Все решения образуют одну бесконечную серию: $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$$

В обоих подслучаях, когда $|b|=1$, уравнение также имеет бесконечно много корней.

Поскольку в вопросе не указан конкретный интервал для $x$, подразумевается нахождение корней на всей числовой прямой. Таким образом, для любого значения $b$, удовлетворяющего условию $|b| \le 1$, уравнение имеет бесконечное число решений.

Ответ: При любом значении $b$, удовлетворяющем условию $|b| \le 1$, уравнение $\sin x = b$ имеет бесконечное множество корней.

3. Что называют арксинусом числа b?

Для $|b| \le 1$

Арксинусом числа b, которое обозначается как $\arcsin(b)$, называют такое число (угол) $a$, для которого одновременно выполняются два условия.

Во-первых, синус угла $a$ должен быть равен числу $b$. Это выражается формулой:
$\sin(a) = b$

Во-вторых, этот угол $a$ должен находиться в определённом промежутке, а именно на отрезке от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$ (в радианах), или от -90° до 90° (в градусах). Математически это записывается так:
$-\frac{\pi}{2} \le a \le \frac{\pi}{2}$

Важно помнить, что функция арксинуса определена не для всех чисел $b$. Она существует только для тех значений $b$, которые находятся в отрезке $[-1, 1]$, так как область значений функции синуса именно этот отрезок. Таким образом, обязательным условием является $|b| \le 1$.

Итак, запись $a = \arcsin(b)$ является краткой формой для системы двух условий:
$ \begin{cases} \sin(a) = b \\ -\frac{\pi}{2} \le a \le \frac{\pi}{2} \end{cases} $
где $|b| \le 1$.

Геометрический смысл: На единичной окружности $\arcsin(b)$ — это угол (или длина дуги от точки $(1, 0)$), который находится в правой полуплоскости (от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$) и соответствует точке на окружности с ординатой (координатой y), равной $b$.

Пример:
Найдем $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Нам нужно найти угол $a$, для которого:
1) $\sin(a) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
2) $-\frac{\pi}{2} \le a \le \frac{\pi}{2}$
Существует бесконечное множество углов, синус которых равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (например, $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \dots$). Однако, из всех этих значений только угол $a = \frac{\pi}{4}$ удовлетворяет второму условию, то есть принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Значит, $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: Арксинусом числа $b$, где $|b| \le 1$, называется такое число $a$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $b$.

4. Напишите формулу корней уравнения $ \sin x = b $ при $ |b| \le 1 $.

4. Требуется найти общую формулу для корней тригонометрического уравнения `$\sin x = b$`. Условие `$|b| \le 1$` (что эквивалентно `$-1 \le b \le 1$`) является необходимым и достаточным для существования действительных решений, поскольку область значений функции синус — это отрезок `[-1, 1]`.

Для решения этого уравнения вводится понятие арксинуса. Арксинус числа `$b$`, который обозначается как `$\arcsin b$`, — это угол `$\alpha$`, принадлежащий отрезку `$\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$`, синус которого равен `$b$`. Таким образом, `$\arcsin b$` является одним из решений (главным значением) уравнения `$\sin x = b$`.

Поскольку функция `$\sin x$` является периодической с периодом `$2\pi$`, то если `$x_0$` является решением, то и все числа вида `$x_0 + 2\pi k$` (где `$k$` — любое целое число) также будут решениями. Используя `$\arcsin b$` как одно из решений, мы получаем первую серию корней:
`$x = \arcsin b + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$`.

Из основного тригонометрического тождества `$\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$` следует, что если `$\alpha = \arcsin b$` — решение, то `$\pi - \alpha = \pi - \arcsin b$` также является решением. Снова учитывая периодичность, мы получаем вторую серию корней:
`$x = \pi - \arcsin b + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$`.

Эти две серии решений можно объединить в одну общую, более компактную формулу. Давайте проанализируем структуру обеих серий:
1) `$x = 2k\pi + \arcsin b$`
2) `$x = (2n+1)\pi - \arcsin b$`
Можно заметить, что когда `$\pi$` умножается на четное число (`$2k$`), слагаемое `$\arcsin b$` берется со знаком «плюс». Когда `$\pi$` умножается на нечетное число (`$2n+1$`), слагаемое `$\arcsin b$` берется со знаком «минус». Такое чередование знаков можно элегантно записать с помощью множителя `_(-1)^n_`.

Общая формула, объединяющая все корни, имеет вид: `$x = n\pi + (-1)^n \arcsin b$`, где `$n \in \mathbb{Z}$` ( `$n$` — любое целое число).
- Если `$n$` — четное число (например, `$n=2k$`), то формула преобразуется в `$x = 2k\pi + (-1)^{2k} \arcsin b = 2k\pi + \arcsin b$`, что соответствует первой серии корней.
- Если `$n$` — нечетное число (например, `$n=2k+1$`), то формула преобразуется в `$x = (2k+1)\pi + (-1)^{2k+1} \arcsin b = (2k+1)\pi - \arcsin b$`, что соответствует второй серии корней.

Ответ: `$x = n\pi + (-1)^n \arcsin b$`, где `$n \in \mathbb{Z}$`.

5. Напишите формулу корней уравнения $ \sin x = 1 $; $ \sin x = 0 $; $ \sin x = -1 $.

Это частные случаи простейших тригонометрических уравнений. Для нахождения их корней удобно использовать тригонометрическую окружность.

sin x = 1

Синус угла – это ордината (координата y) точки на единичной окружности. Значение $y=1$ достигается в единственной точке на окружности, которая соответствует углу $\frac{\pi}{2}$. Поскольку функция синуса периодична с периодом $2\pi$, то все решения будут повторяться через каждый полный оборот. Следовательно, чтобы найти все корни уравнения, нужно к частному решению $\frac{\pi}{2}$ прибавить $2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

sin x = 0

Синус равен нулю в точках, где ордината (координата y) на единичной окружности равна нулю. Таких точек две: одна соответствует углу $0$, а другая — углу $\pi$. Эти точки диаметрально противоположны и повторяются через каждый полуоборот, то есть через $\pi$ радиан. Таким образом, все множество корней можно описать одной формулой.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

sin x = -1

Значение синуса равно -1 в "нижней" точке единичной окружности. Этому положению соответствует угол $-\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$). Так же, как и в первом случае, эта точка единственна на одном обороте. Учитывая периодичность функции синуса, все решения уравнения получаются добавлением к частному решению $-\frac{\pi}{2}$ целого числа полных оборотов ($2\pi n$).

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$